知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=
2x， x≤0
f(x-1)-1， x＞0
，则f（log₂9）= ．

难度：中等

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3．定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（mn）=f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求证：1是函数f（x）的零点；
（2）求证：f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）当f(2)=
1
2
时，解不等式f（ax+4）＞1．

难度：较难

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4．设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2^x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）

难度：较难

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5．已知函数f（x）满足f（a+b）=f（a）•f（b），f（1）=2．则
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+…+
f2(2016)+f(4032)
f(4031)
= ．

难度：中等

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6．定义在R上的函数，对任意实数，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=2，记a_n=f（n）（n∈N^*），则a₂₀₁₆= ．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=
f(x-3)，x＞0
ex+log2[8x+1×(
1
4
)-2]，x≤0
，则f（6）= ．

难度：较易

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8．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足条件以下条件：f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）求f（4）的值
（2）求证：f（8）=3．
（3）求不等式f（x）＞3+f（x-2）的解集．

难度：中等

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9．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，满足f（0）=2，f（x+1）-f（x）=2x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）-t＞0在[-1，2]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）-mx的两个零点分别在区间（-1，2）和（2，4）内，求实数m的取值范围．

难度：较难

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10．定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是减函数，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，求实数a的取值范围．

难度：中等

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