知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a-x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．
（1）判断f（x）=x²是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，-1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（
π
2
x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．

难度：较难

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2．商家经销某种商品，原售价为100元/件，每日可售出100件．商家拟降价促销，根据以往经验，若每件降价x，（x∈N^*）元，可增加3x件的销售量，则商家应怎样确定降价范围，可使每日销售额比未降价时有所增加？降价多少时每日销售额最大？

难度：中等

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3．某中职学校的学生人数每年平均增长率为20%，大约经过多少年，该校的学生人数将翻一番？

难度：中等

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4．定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且f（0.5）=3，求f（7.5）的值．

难度：中等

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5．在2014年初上海市人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出它们招聘的工资标准：
A公司允诺：第一年月工资3000元，以后每年比上一年月工资增加500元；
B公司允诺：第一年月工资3500元，以后每年比上一年月工资增加8%；
小李选择了A公司，小张选择了B公司，试问：
（1）若小李和小张分别在A、B两公司连续工作6年，第6年，小李和小张谁的月工资高？
（2）若小李和小张分别在A、B两公司连续工作10年，这10年小李和小张的总收入谁高？（（1.08）¹⁰≈2.16）

难度：中等

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6．设f（x）=
x-3
x+2
，求f（0），f（a），f[f（x）]．

难度：较易

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7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ₁℃，空气的温度是θ₀℃，tmin后物体的温度θ℃可由公式θ=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt求得，这里k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常数．现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是52℃．求上式中k的值（精确到0.01），然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是42℃，32℃．物体会不会冷却到12℃？

难度：中等

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8．已知f（x）=
1+x2
，试用不同方法证明：|f（a）-f（b）|≤|a-b|．

难度：中等

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9．如图，△ABC的三个顶点均在函数y=
1
x
的图象上，试判断△ABC的垂心（△ABC三条高线的交点叫△ABC的垂心）H是否也在y=
1
x
的图象上，并说明理由．

难度：中等

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10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（-x）=f（2+x）．
（I）求f（0）的值；
（II）证明函数f（x）是周期函数．

难度：较易

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