知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x²-2x，设g(x)=
1
x
•f(x+1)．
（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；
（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=
mx2+2
n-3x
的定义域上的奇函数，且f（2）=-
5
3
，函数g（x）是R上的增函数，g（1）=1且对任意x，y∈R，总有g（x+y）=g（x）+g（y）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明
（Ⅲ）若g（2a）＞g（a-1）+2，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）是奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=
x
1-x
．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）在（0，+∞）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．

难度：中等

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4．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y．
（1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）；
（2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由；
（3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+x．
（1）求f（-1）的值；
（2）求函数f（x）的表达式；
（3）解不等式：f（2x-1）＜f（1）．

难度：中等

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6．定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f(x)=
3x
9x+1
．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

难度：较难

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7．如图，在半径为10
3
cm的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V（cm³）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ（rad），将V表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（
1
2
，2），
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+
1
2
）-1，求：函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数F（x）=g（2x）-mg（x-1），求F（x）在[-1，0]的最小值h（m）．

难度：较难

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9．函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由．

难度：较难

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