知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设 $y_%7B1%7D%3Da%5E%7B3x%2B1%7D$ ， $y_%7B2%7D%3Da%5E%7B-2x%7D$ ，其中若a＞0且a≠1，确定x为何值时，有：
（1）y₁=y₂
（2）y₁＜y₂．

难度：易

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2．（1）解方程：lg（x+1）+lg（x-2）=lg4；
（2）解不等式：2^1-2x＞ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．

难度：较易

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3．已知函数f（x）=a^x-a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，2），
（Ⅰ）求实数a；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ）-1，求：函数g（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数F（x）=g（2x）-mg（x-1），求F（x）在[-1，0]的最小值h（m）．

难度：中等

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4．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

难度：较难

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5．集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%5Bf%28x_%7B1%7D%29%2Bf%28x_%7B2%7D%29%5D%EF%BC%9Ef%28%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7D%2Bx_%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$ ．
（1）试判断f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并说明理由；
（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1）， $f%281%29%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=e^2ax（a∈R）的图象C过点P（1，e），奇函数g（x）=kx+b（k，b∈R，k≠0）的图象为l．
（1）求实数a，b的值；
（2）若在y轴右侧图象C恒在l的上方，求实数k的取值范围；
（3）若图象C与l有两个不同的交点A，B，其横坐标分别是x₁，x₂，设x₁＜x₂，求证：x₁•x₂＜1．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=2^x+b经过定点（2，8）
（1）求实数b的值；
（2）求不等式f（x）＞ $%20332%20$ 的解集．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设函数g（x）=f（x）-2×3^x，求g（x+1）＞g（x）时x的取值范围．

难度：中等

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9．已知0＜a＜1，且函数y=a^x与y=log_ax的图象的交点的横坐标为x₀．
（1）求sin2x₀的取值范围；
（2）是否存在实数t，当0＜x＜x₀，不等式5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立？若存在，求t的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象经过点P（2，4）．
（1）求a的值；
（2）已知f（2x）-3f（x）-4=0，求x．

难度：中等

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