知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f(x)=log2(
1+ax
1-x
)，若f(
1
3
)=1
（1）求f（x）的解析式并判断其奇偶性；
（2）当x∈[-1，0）时，求f（3^x）的值域；
（3）已知函数g(x)=log
2
k
1-x
，若存在x∈[
1
2
，
2
3
]使不等式 f（x）＞g（x）成立，求k的范围．

难度：中等

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2．已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x₁、x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）已知函数f（x）=x²+1，x∈[-
1
2
，
1
2
]，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；
（2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；
（3）是否存在实数a，使得p(x)=
a
x+2
，x∈[-1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=2^x（x∈R），
（1）解不等式f（x）-f（2x）＞16-9×2^x；
（2）若函数q（x）=f（x）-f（2x）-m在[-1，1]上有零点，求m的取值范围；
（3）若函数f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2ag（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=log₂x
（Ⅰ）若f（x）的反函数是函数y=g（x），解方程g（2x）=2g（x）+10；
（Ⅱ）对于任意a、b、c∈[M，+∞），M＞1且a≥b≥c．当a，b，c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试分别探究下面两个问题：
（1）当1＜M＜2时，是否存在a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，以f（a）、f（b）、f（c）不能作为三角形的三边长．
（2）M≥2，证明：对于任a、b、c∈[M，+∞），且a≥b≥c，当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a）、f（b）、f（c）总能作为三角形的三边长．

难度：较难

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5．定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且当x∈（0，1）时，f(x)=
2x
4x+1
．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

难度：中等

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