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          共50条信息

            • 1． 定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，其中称T为函数f（x）的广义周期，M称为周距．
              （1）证明函数f（x）=x+（-1）x（x∈Z）是以2为广义周期的广义周期函数，并求出它的相应周距M的值；
              （2）设函数y=g（x）是周期T=2的周期函数（即满足g（x+2）=g（x）），当函数f（x）=-2x+g（x）在[1，3]上的值域为[-3，3]时，求f（x）在[-9，9]上的最大值和最小值．
              难度：较难
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            • 2． 设函数f(x)=log2(
              1+ax
              1-x
              )              ，若f(
              1
              3
              )=1
              （1）求f（x）的解析式并判断其奇偶性；
              （2）当x∈[-1，0）时，求f（3x）的值域；
              （3）已知函数g(x)=log
              		2
              k
              1-x
              ，若存在x∈[
              1
              2
              ，
              2
              3
              ]              使不等式 f（x）＞g（x）成立，求k的范围．
              难度：中等
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            • 3． 已知分段函数f（x）=
              2x(x≤0)
              ax2-(a+1)x+c(x≥0)
              ．
              （1）求实数c的值；
              （2）当a=1时，求f[f（-1）]的值与函数f（x）的单调增区间；
              （3）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 4． 对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[-0.25]=-1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为    ．
              难度：较难
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            • 5． 一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．
              （1）若[1，b]为g（x）=
              1
              2
              x2-x+
              3
              2
              的保值区间，求常数b的值；
              （2）问是否存在常数a，b（a＞-2）使函数h（x）=
              1
              x+2
              的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．
              （3）求函数p（x）=
              1
              2
              x2+
              13
              2
              的2倍保值区间[a，b]．
              难度：较难
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            • 6． 设函数f（x）=a2x2（a＞0），g(x)=
              		9-(x-b)2
              ．
              （1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
              		2
              ，求a的值；
              （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
              （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
              		2
              2
              ，b=
              5
              		3
              2
              ，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 7． 已知函数f(x)=x+
              a
              x
              ，(a＞0)              有如下性质：该函数在(0，
              		a
              ]              上是减函数，在(
              		a
              ，+∞)              上是增函数．
              （1）若a=4，求f（x）在区间[1，3]上的最大值与最小值；
              （2）若x∈[1，3]时，不等式f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
              难度：较难
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            • 8． 已知函数f（x）=ex-m，g（x）=ln（x+m），其中m＞0
              （1）若P（x0，y0）是两个函数图象上的一个公共点，求证：x0=y0；
              （2）若P（x0，y0）是两个函数图象上唯一的公共点，求实数m，x0的值；
              （3）若两个函数图象无公共点，试问存在几条直线与它们都相切？请说明理由．
              难度：较难
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            • 9． 对于函数y=f（x）（x∈D），若同时满足下列条件：①f（x）在D内是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y=f（x）叫做闭函数．
              （1）判断函数f（x）=x2是否为闭函数，并说明理由；
              （2）是否存在实数a，b使函数y=-x3+1是闭函数；
              （3）若y=k+
              		x+2
              为闭函数，求实数k的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），使得对函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立．
              （1）已知函数f（x）=x2+1，x∈[-
              1
              2
              ，
              1
              2
              ]              ，判断f（x）与集合M的关系，并说明理由；
              （2）已知函数g（x）=ax+b∈M，求实数a，b的取值范围；
              （3）是否存在实数a，使得p(x)=
              a
              x+2
              ，x∈[-1，+∞）属于集合M？若存在，求a的取值范围，若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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