知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1）．设M是直线OP上的一点（其中O为坐标原点），当
MA
•
MB
取最小值时：
（1）求
OM
；
（2）设∠AMB=θ，求cosθ的值．

难度：较易

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2．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，1），B（4，-3），且
AP
=λ
PB
，点Q是直线OB上一点．
（1）若λ=1，且
PQ
•
OP
=0，求点Q的坐标；
（2）如已知点M（3，2），向量
OP
与
OM
夹角为锐角，求λ的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=
1
3
x3-ax+4，(a＞0)
（1）讨论函数 f （x）的单调性；
（2）若对任意的a∈[1，4），都存在x₀∈（2，3]使得不等式f（x₀）+e^a+2a＞m成立，求实数m 的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值．

难度：较难

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5．好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为6元，每个售价为x（6＜x＜11）元，该蛋糕年销售量为m万个，若已知
585
8
-m与(x-
21
4
)2成正比，且售价为10元时，年销售量为28万个．
（1）求该蛋糕年销售利润y关于售价x的函数关系式；
（2）求售价为多少时，该蛋糕的年利润最大，并求出最大年利润．

难度：中等

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6．如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2
5
，sinB=
5
5
，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．

难度：中等

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7．已知函数f1(x)=e|x-2a+1|，f2(x)=e|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若x∈[a，+∞）时，f₂（x）≥f₁（x），求a的取值范围；
（3）求函数g(x)=
f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
在x∈[1，6]上的最小值．

难度：较难

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8．函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在说明理由．

难度：较难

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