知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=ax^{2}+mx+m-1(a\neq 0)\)．
\((1)\)若\(f(-1)=0\)，判断函数\(f(x)\)的零点个数；
\((2)\)若对任意实数\(m\)，函数\(f(x)\)恒有两个相异的零点，求实数\(a\)的取值范围；
\((3)\)已知\(x_{1}\)，\(x_{2}∈R\)且\(x_{1} < x_{2}\)，\(f(x_{1})\neq f(x_{2})\)，求证：方程\(f(x)= \dfrac {1}{2}[f(x_{1})+f(x_{2})]\)在区间\((x_{1},x_{2})\)上有实数根．

难度：中等

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2．
已知函数\(f(x)=\ln (1+mx)+ \dfrac {x^{2}}{2}-mx\)，其中\(0 < m\leqslant 1\)．
\((1)\)若\(m=1\)，求证：\(-1 < x\leqslant 0\)时，\(f(x)\leqslant \dfrac {x^{3}}{3}\)；
\((2)\)试讨论函数\(y=f(x)\)的零点个数．

难度：中等

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3．
已知函数\(f(x)=ae^{x}+x^{2}-bx(a,b∈R,e=2.71828…\)是自然对数底数\()\)，其导函数为\(y=f{{'}}(x)\)．
\((1)\)设\(b=0\)，若函数\(y=f(x)\)在\(R\)上有且只有一个零点，求\(a\)的取值范围；
\((2)\)设\(b=2\)，且\(a\neq 0\)，点\((m,n)(m,n∈R)\)是曲线\(y=f(x)\)上的一个定点，是否存在实数\(x_{0}(x_{0}\neq m)\)，使得\(f(x\;_{0})=f′( \dfrac {x_{0}+m}{2})(x_{0}-m)+n\)成立？证明你的结论．

难度：较易

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4．
已知函数\(f(x)=|x-a|+ \dfrac {1}{2a}(a\neq 0)\)
\((1)\)若不等式\(f(x)-f(x+m)\leqslant 1\)恒成立，求实数\(m\)的最大值；
\((2)\)当\(a < \dfrac {1}{2}\)时，函数\(g(x)=f(x)+|2x-1|\)有零点，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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5．
已知函数\(f(x)=e^{x}\)，\(g(x) \dfrac {1}{x-a}\)．
\((1)\)设函数\(F(x)=f(x)+g(x)\)，试讨论函数\(F(x)\)零点的个数；
\((2)\)若\(a=-2\)，\(x > 0\)，求证：\(f(x)⋅g(x) > \sqrt {x+1}+ \dfrac {x^{2}-8}{2x+4}\)．

难度：较易

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6．
已知函数\(f(x)=x|x-a|+bx(a,b∈R)\)．
\((1)\)当\(b=-1\)时，函数\(f(x)\)恰有两个不同的零点，求实数\(a\)的值；
\((2)\)当\(b=1\)时，
\(①\)若对于任意\(x∈[1,3]\)，恒有\( \dfrac {f(x)}{x}\leqslant 2 \sqrt {x+1}\)，求\(a\)的取值范围；
\(②\)若\(a > 0\)，求函数\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值\(g(a)\)．

难度：中等

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7．
已知函数\(f(x)=\sin x-a\cos x\)的一个零点是\( \dfrac {π}{4}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求实数\(a\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)设\(g(x)=f(x)\cdot f(-x)+2 \sqrt {3}\sin x\cos x\)，若\(x∈[0, \dfrac {π}{2}]\)，求\(g(x)\)的值域．

难度：较易

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8．
若定义域为\(R\)的偶函数\(y=f(x)\)满足\(f(x+2)=-f(x)\)，且当\(x∈[0,2]\)时，\(f(x)=2-x^{2}\)，则函数\(g(x)=f(x)-\sin |x|\)在\([-10,10]\)内的零点个数是 ______

难度：较易

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9．
已知\(a\)是实数，函数\(f(x)=2a{x}^{2}+2x-3-a .\)如果函数\(y=f(x)\)在区间\(\left[-1,1\right] \)上有零点，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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10．

已知函数\(f(x)={e}^{x}-a{x}^{2} \)

\((1)\)若\(a=1\)，证明：当\(x\geqslant 0 \)时，\(f(x)\geqslant 1 \)

\((2)\)若\(f(x) \)在\((0,+∞) \)只有一个零点，求\(a\)．

难度：较难

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