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          共50条信息

            • 1． 已知函数\(f(x){=}\dfrac{a{⋅}2^{x}{+}b{+}1}{2^{x}{+}1}\)是定义域在\(R\)上的奇函数，且\(f(2){=}\dfrac{6}{5}\)．
              \((1)\)求实数\(a\)、\(b\)的值；
              \((2)\)判断函数\(f(x)\)的单调性，并用定义证明；
              \((3)\)解不等式：\(f(\log{{ }}_{\frac{1}{2}}(2x{-}2){]+}f{[}\log_{2}(1{-}\dfrac{1}{2}x){]\geqslant }0\)．
              难度：较难
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            • 2．
              已知\(-6 < a < 8\)，\(2 < b < 3\)，分别求\(2a+b\)，\(a-b\)，\( \dfrac {a}{b}\)的取值范围．
              难度：难
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            • 3．
              求证：\( \sqrt {3}+ \sqrt {7} < 2 \sqrt {5}\)．
              难度：较易
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            • 4．

              已知函数\(f(x)= \dfrac{{x}^{2}+ax+a}{x},且a < 1 \)

              \((1)\)当\(x∈[1,+∞) \)，时判断\(f(x)\)的单调性并证明；

              \((2)\)设函数\(g(x)=x·f(x)+|{x}^{2}-1|+(k-a)x-a,k \)为常数\(.\)若关于\(x\)的方程\(g\)\((\)\(x\)\()=0\)在\((0,2)\)上有两个解\(x\)\({\,\!}_{1}\)，\(x\)\({\,\!}_{2}\)，求\(k\)的取值范围，并比较\( \dfrac{1}{{x}_{1}}+ \dfrac{1}{{x}_{2}} \)与\(4\)的大小．

              难度：难
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            • 5．

              画出二次函数\(f(x)=-x^{2}+2x+3\)的图象，并根据图象回答下列问题：

              \((1)\)比较\(f(0)\)，\(f(1)\)，\(f(3)\)的大小．

              \((2)\)若\(x_{1} < x_{2} < 1\)，比较\(f(x_{1})\)与\(f(x_{2})\)的大小．

              \((3)\)求函数\(f(x)\)的值域．

              难度：中等
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            • 6．

              已知函数\(g(x)=x\sin θ-\ln x-\sin θ\)在\([1,+∞)\)单调递增，其中\(θ∈(0,π)\)．

              \((1)\)求\(θ\)的值；

              \((2)\)若\(f(x)=g(x)+\dfrac{2x-1}{{{x}^{2}}}\)，当\(x∈[1,2]\)时，试比较\(f(x)\)与\(f{{'}}(x)+\dfrac{1}{2}\)的大小关系\((\)其中\(f{{'}}(x)\)是\(f(x)\)的导函数\()\)，请写出详细的推理过程；

              \((3)\)当\(x\geqslant 0\)时，\(e^{x}-x-1\geqslant kg(x+1)\)恒成立，求\(k\)的取值范围．

              难度：难
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            • 7．

              已知二次函数\(f(x)\)满足以下两个条件：

              \(①\)不等式\(f(x) < 0\)的解集是\((-2,0)\)；\(②\)函数\(f(x)\)在\(x\in \left[ 1,2 \right]\)上的最小值是\(3\)．

              \((1)\)求\(f(x)\)的解析式；

              \((2)\)若点\(({{a}_{n}},{{a}_{n+1}})(n\in N*)\)在函数\(f(x)\)的图象上，且\({{a}_{1}}=9\)．

              \((i)\)求证：数列\(\left\{ \lg (1+{{a}_{n}}) \right\}\)为等比数列；

              \((ii)\)令\({{C}_{n}}=\dfrac{2\lg (1+{{a}_{n}})}{{{n}^{2}}}\)，是否存在正整数\({{n}_{0}}\)，使得\({{C}_{n}}\)取到最小值？若有，请求出\({{n}_{0}}\)的值；若无，请说明理由．

              难度：较难
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            • 8． 若\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(4a+b=ab\) ．
              \((\)Ⅰ\()\)求 \(a+b\) 的最小值；
              \((\)Ⅱ\()\)当 \(a+b\) 取得最小值时，不等式\(|x-a|+|x-b|\geqslant {t}^{2}-2t \)对任意的\(x∈R \)恒成立，求 \(t\) 的取值范围．
              难度：难
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            • 9．

              选修\(4-4\) 不等式选讲

               设不等式\(-2 < \left|x-1\right|-\left|x+2\right| < 0 \)的解集为\(M \)，且\(a,b∈M \)

              \((1)\)  证明：\(\left| \dfrac{1}{3}a+ \dfrac{1}{6}b\right| < \dfrac{1}{4} \)； \((2)\)比较\(\left|1-4ab\right| \)与\(2\left|a-b\right| \)的大小，并说明理由。

              难度：难
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            • 10．
              若\(a > b > 0\)，\(m > 0\)，判断\( \dfrac {b}{a}\)与\( \dfrac {b+m}{a+m}\)的大小关系，
              并加以证明．
              难度：难
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