知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设不等式组 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%EF%BC%9E0%20%5C%5C%20y%EF%BC%9E0%20%5C%5C%20y%E2%89%A4-nx%2B3n%5Cend%7Bcases%7D$ 所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N^*）．（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且 $T_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7B3%5Ccdot%202%5E%7Bn-1%7D%7D$ ，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

难度：中等

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2．已知平面区域 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%E2%89%A50%20%5C%5C%20y%E2%89%A50%20%5C%5C%20x%2B2y-4%E2%89%A40%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ 被圆C及其内部所覆盖．
（1）当圆C的面积最小时，求圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与（1）中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．

难度：较易

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3．画出不等式（x+2y+1）（x-y-4）＜0表示的平面区域．

难度：中等

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4．若x，y满足约束条件 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%2By%E2%89%A51%20%5C%5C%20-x%2By%E2%89%A41%20%5C%5C%202x-y%E2%89%A42%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ ．
（1）求目标函数z= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx$ -y+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 的最值；
（2）若目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，求a的取值范围．
（3）求点P（x，y）到直线y=-x-2的距离的最大值；
（4）z=x²+y²-10y+25的最小值；
（5）z= $%20%5Cfrac%20%7B2y%2B1%7D%7Bx%2B1%7D$ 的范围．

难度：中等

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5．画出表示二元一次不等式组 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20y%E2%89%A5-2%20%5C%5C%203x-2y%2B6%EF%BC%9E0%20%5C%5C%20x%EF%BC%9C0%5Cend%7Bcases%7D$ 的平面区域．

难度：易

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6．已知函数f（x）=（4a-3）x+b-2a，x∈[0，1]，若f（x）≤2恒成立．
（1）当a= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求实数b的取值范围；
（2）画出点P（a，b）表示的平面区域，并求z=a+b的最大值．

难度：较易

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7．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx%E2%89%A50%20%5C%5C%20x-y%E2%89%A50%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ ，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

难度：中等

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8．在平面x0y内，不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，不等式组 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Dx-2y%E2%89%A50%20%5C%5C%20x%2B3y%E2%89%A50%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D$ 确定的平面区域为V．
（Ⅰ）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”．在区域U任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（Ⅱ）在区域U每次任取1个点，连续取3次，得到3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．

难度：较易

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9． △ABC三个顶点坐标为A（2，4），B（-1，-2），c（4，-4）．
（Ⅰ）求△ABC内任一点（x，y）所满足的条件；
（Ⅱ）求z=x-y最小值，其中p（x，y）是△ABC内的整点．

难度：较易

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