知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
\(22\)．已知\(f\left(x\right)=\left|x+1\right|-\left|ax-1\right| \) ．
\((1)\)当\(a=1\) 时，求不等式\(f(x) > 1\) 的解集；

\((2)\)若\(x∈\left(0,1\right) \)时不等式\(f\left(x\right) > x \)成立，求\(a\)的取值范围．

难度：较难

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2．
已知\(f(x)=|x-a^{2}|+|x+2a+3|\)．
\((1)\)证明：\(f(x)\geqslant 2\)；

\((2)\)若\(f(-\dfrac{3}{2}) < 3\)，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较难

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3．

已知\(f\left(x\right)=\left|x+1\right|-\left|ax-1\right| \)．

\((1)\)当\(a=1\)时，求不等式\(f\left(x\right) > 1 \)的解集；

\((2)\)若\(x∈\left(0,1\right) \)时不等式\(f\left(x\right) > x \)成立，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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4．
已知函数\(f(x){=}e^{x}{-}x{-}1(e\)是自然对数的底数\()\)．
\((1)\)求证：\(e^{x}{\geqslant }x{+}1\)；
\((2)\)若\(n\in N*\)，求证：\(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{n} > \ln (n+1)\)．

难度：难

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5．
设\(x\)，\(y\)都是正数，且\(x+y > 2.\)证明：\( \dfrac {1+x}{y} < 2\)和\( \dfrac {1+y}{x} < 2\)中至少有一个成立．

难度：难

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6．
在\(\triangle ABC\)中，\(A=120 ^{\circ} ,c > b,a= \sqrt {21},S_{\triangle ABC}= \sqrt {3}\)，求\(b\)，\(c\)．

难度：较易

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7．
已知函数\(f(x)= \begin{cases} x,0 < x < 1 \\ \dfrac {1}{x},x\geqslant 1\end{cases}\)，\(g(x)=af(x)-|x-1|\)．
\((\)Ⅰ\()\)当\(a=0\)时，若\(g(x)\leqslant |x-2|+b\)对任意\(x∈(0,+∞)\)恒成立，求实数\(b\)的取值范围；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a=1\)时，求\(g(x)\)的最大值．

难度：较易

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8．
已知\(α\)为第三象限角，问是否存在这样的实数\(m\)，使得\(\sin α\)、\(\cos α\)是关于\(x\)的方程\(8x^{2}+6mx+2m+1=0\)的两个根，若存在，求出实数\(m\)，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9．
\((1)\)若关于的不等式\(|ax-2| < 3\)的解集为\(\left\{ x|-\dfrac{5}{3} < x < \dfrac{1}{3} \right\}\)，求实数\(a\)的值；

\((2)\)求不等式\(|x-1|+|x+2|\geqslant 5\)的解集．

难度：中等

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10．
已知关于\(x\)的不等式\(\left|x-m\right|\leqslant n \)的解集为\(\left\{x|0\leqslant x\leqslant 4\right\} \)．

\((1)\)求实数\(m\)，\(n\)的值；

\((2)\)设\(a > 0,b > 0\)，且\(a+b=\dfrac{m}{a}+\dfrac{n}{b}\)，求\(a+b\)的最小值．

难度：较易

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