知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数
（Ⅰ）若f（x）在区间[-2，2]上是增函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在非正实数k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值．

难度：较难

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3．有一个数据运算装置，如下图所示，输入数据x通过这个运算装置就输出一个数据y，输入一组数据，则会输出另一组数据．要使输入的数据介于20～100之间（含20和100，且一个都不能少），输出的另一组数据后满足下列要求：①新数据在60～100之间（含60和100，也一个都不能少）；②新数据的大小关系与原数据的大小关系相反，即原数据较大的对应新数据较小．
（1）若该装置的运算规则是一次函数，求出这种关系；
（2）若该装置的运算规则是y=a（x-h）²（a＞0），求满足上述条件的a，h应满足的关系式；
（3）请你设计一种满足上述条件新的运算规则（非一次、二次函数）．

难度：中等

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4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的图象与x轴有两个不同的公共点，且有f（c）=0，当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0．
（1）（文）当a=1，c=
1
2
时，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，对所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=x²-（c+1）x+c（c∈R）．
（1）解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当c=1时，不等式f（x）＞a-5在（0，2）上恒成立，求实数a的取值范图；
（3）设g（x）=f（x）-x²-（a-1）x，已知0＜g（2）＜1，3＜g（3）＜5．求g（4）-a的范图．

难度：中等

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6．设函数f（x）=ax²-bx+2b（a＞0），集合A={x|f（x）＜0}，若A∩Z的子集恰有4个，求
f(1)
f(2)
的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x²+ax+b，不等式f（x）≤3的解集为[1，2]．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[m，m+1]（m∈R）上的最小值g（m）．

难度：中等

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8．函数f（x）=x²-2ax+a．
（1）若f（0）=1，求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值及最小值；
（2）若函数f（x）在区间（-∞，1）上有最小值，试判断函数g（x）=
f(x)
x
在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义证明．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=x²+1，g（x）=x+a，∀x∈[-1，2]，f（x）≥g（x），则实数a的取值范围为．

难度：较易

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