知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知函数\(f(x)={{x}^{2}}\ln x-2x\)．

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线方程；

\((\)Ⅱ\()\)求证：存在唯一的\({{x}_{0}}\in (1,2)\)，使得曲线\(y=f(x)\)在点\(({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))\)处的切线的斜率为\(f(2)-f(1)\)；

\((\)Ⅲ\()\)比较\(f(1.01)\)与\(-2.01\)的大小，并加以证明．

难度：较难

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2．

已知函数\(f(x)=2{x}^{3}−3(a+1){x}^{2}+6ax,a∈R \)

\((1)\)曲线\(y=f(x) \)在\(x=0 \)处的切线的斜率为\(3\)，求\(a \)的值；

\((2)\)若对于任意\(x∈(0,+∞) \)，\(f(x)+f(−x)⩾12\ln ⁡x \)恒成立，求\(a \)的取值范围；

\((3)\)若\(a > 1 \)，设函数\(f(x) \)在区间\([1,2]\)上的最大值、最小值分别为\(M(a),m(a) \)记\(h(a)=M(a)−m(a), \)求\(h(a) \)的最小值．

难度：难

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3．

已知函数\(f(x)={{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\)的图像经过点\(P(0,2)\)，且在\(M(-1,f(-1))\)点处的切线方程为 \(6x-y+7=0\)．

\((1)\)求函数\(y=f\left(x\right) \)的解析式；

\((2)\)求函数\(y=f\left(x\right) \)的增区间；

难度：较难

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4．

设函数\(f\left( x \right)=a{\ln }x-b{{x}^{2}}+1(x > 0)\)，若函数\(f\left( x \right)\)在\(x=1\)处的切线方程为\(6x-2y-5=0\)．

\((1)\)求实数\(a,b\)的值\(;\)

\((2)\)求函数\(f\left( x \right)\)在\(\left[ \dfrac{1}{{e}},{{{e}}^{2}} \right]\)上的最大值．

难度：中等

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5．
设函数\(f(x)=x^{3}-3ax+b(a\neq 0)\)．
\((1)\)若曲线\(y=f(x)\)在点\((2,f(2))\)处与直线\(y=8\)相切，求\(a\)，\(b\)的值；

\((2)\)求函数\(f(x)\)的单调区间与极值点．

难度：难

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6．
已知函数\(f(x)=\ln x,g(x)=a{{x}^{2}}-6x+\dfrac{7}{2}\)，函数\(g(x)\)的图象在点\(x=\dfrac{3}{2}\)处的切线平行于\(x\)轴\(.\)

\((\)Ⅰ\()\)求\(a\)的值

\((\)Ⅱ\()\)设\(h(x)=f(x)+g(x)\)，若\(y=h(x)\)的所有零点中，仅有两个大于\(\dfrac{1}{2}\)，设为\({{x}_{1}},{{x}_{2}}({{x}_{2}} > {{x}_{1}} > \dfrac{1}{2})\)

\((1)\)求证：\(\dfrac{1}{2} < {{x}_{1}} < 1,1 < {{x}_{2}} < 2\)

\((2)\)过点\(({{x}_{1}},f({{x}_{1}})),({{x}_{2}},f({{x}_{2}}))\)的直线的斜率为\(k\)，证明：\(\dfrac{1}{2} < k < 2\)

难度：难

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7．
已知函数\(f(x)=x^{3}+(1-a)\) \(x^{2}-a(a+2)x+b(a,b∈R)\)．
\((\)Ⅰ\()\)若函数\(f(x)\)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是\(-3\)，求\(a\)，\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在区间\((-1,1)\)上不单调，求\(a\)的取值范围．

难度：中等

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8．
曲线\(y= \dfrac {1}{x}\)在\(x=2\)处的切线的斜率为 ______ ．

难度：较易

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9．
已知函数\(f\)\((\)\(x\)\()=\)\(ax\)\({\,\!}^{2}-(2\)\(a\)\(+1)\)\(x\)\(+2\ln \) \(x\)\((\)\(a\)\(∈R)\)．

\((1)\)若曲线\(y\)\(=\)\(f\)\((\)\(x\)\()\)在\(x\)\(=1\)和\(x\)\(=3\)处的切线互相平行，求\(a\)的值；

\((2)\)求\(f\)\((\)\(x\)\()\)的单调区间；

\((3)\)设\(g\)\((\)\(x\)\()=\)\(x\)\({\,\!}^{2}-2\)\(x\)，若对任意\(x\)\({\,\!}_{1}∈(0,2]\)，均存在\(x\)\({\,\!}_{2}∈(0,2]\)，使得\(f\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{1}) < \)\(g\)\((\)\(x\)\({\,\!}_{2})\)，求\(a\)的取值范围．

难度：难

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10．已知曲线\(y=f\left(x\right)= \dfrac{4}{x} \)
\((1)\)求曲线 \(y\)\(=\) \(f\)\(( \)\(x\)\()\)在点\(A(2,2)\)处的切线方程；
\((2)\)求与曲线 \(y\)\(=\) \(f\)\(( \)\(x\)\()\)相切且过\(B(2,0)\)的直线方程．

难度：难

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