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          共50条信息

            • 1．

              某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路\(.\)记两条相互垂直的公路为\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，山区边界曲线为\(C\)，计划修建的公路为\(l.\)如图所示，\(M\)，\(N\)为\(C\)的两个端点，测得点\(M\)到\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的距离分别为\(5\)千米和\(40\)千米，点\(N\)到\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的距离分别为\(20\)千米和\(2.5\)千米\(.\)以\(l_{2}\)，\(l_{1}\)所在的直线分别为\(x\)，\(y\)轴，建立平面直角坐标系\(xOy.\)假设曲线\(C\)符合函数\(y= \dfrac{a}{x^{2}+b}(a,b\)为常数\()\)模型．


              \((1)\)求\(a\)，\(b\)的值；

              \((2)\)设公路\(l\)与曲线\(C\)相切于\(P\)点，\(P\)的横坐标为\(t\)．

              \(①\)请写出公路\(l\)长度的函数解析式\(f(x)\)，并写出其定义域．

              \(②\)当\(t\)为何值时，公路\(l\)的长度最短？求出最短长度．

              难度：中等
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            • 2．

              点\(P\)在曲线\(y=f(x)=x^{2}+1\)上，且曲线在点\(P\)处的切线与曲线\(y=-2x^{2}-1\)相切，求点\(P\)的坐标．

              难度：中等
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            • 3． 设函数\(f(x)=\ln x+\dfrac{a}{x}(a\in R)\)．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
              \((\)Ⅱ\()f(x)\)的导函数是\({f}{{{'}}}(x)\)，讨论函数\(g(x)={f}{{{'}}}(x)-x\)的零点个数．
              难度：难
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            • 4．

              已知二次函数\(f(x)=a{{x}^{2}}+bx-3\)在\(x=1\)处取得极值，且在\((0,-3)\)点处的切线与直线\(2x+y=0\)平行\(.\)  

              \((1)\)求\(f(x)\)的解析式；\((2)\)求函数\(g(x)=xf(x)+4x\)的单调递增区间及在\([0,2]\)的最值

              难度：中等
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            • 5．

              已知曲线\(y=2x^{2}\)上的点\((1,2)\)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．

              难度：中等
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=\)\( \dfrac{1+\ln x}{x}\) ．
              \((1)\)若函数\(f(x)\)在区间\((a,a+\)\( \dfrac{1}{2}\) \()\)上存在极值，求正实数\(a\)的取值范围；
              \((2)\)若当\(x\geqslant 1\)时，不等式\(f(x)\geqslant \)\( \dfrac{k}{x+1}\) 恒成立，求实数\(k\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 7． 已知函数\(f(x)=x^{3}+(1-a)x^{2}-a(a+2)x+b(a,b∈R)\)．

              \((1)\)若函数\(f(x)\)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为\(-3\)，求\(a\)，\(b\)的值；

              \((2)\)若曲线\(y=f(x)\)存在两条垂直于\(y\)轴的切线，求\(a\)的取值范围．

              难度：较难
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            • 8．

              已知函数\(f(x)=x^{3}-3ax+b(a\neq 0)\)．

              \((1)\)若曲线\(y=f(x)\)在点\((2,f(x))\)处与直线\(y=8\)相切，求\(a\)，\(b\)的值；

              \((2)\)求函数\(f(x)\)的单调区间．

              难度：中等
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            • 9．

              设函数\(f(x)=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+({{m}^{2}}-1)x\) ，\((x∈R)\)，其中\(m > 0\)．

              \((\)Ⅰ\()\)当\(m=1\)，求曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线斜率

              \((\)Ⅱ\()\)求函数的单调区间与极值；

              \((\)Ⅲ\()\)已知函数\(f(x)\)有三个互不相同的零点\(0\)，\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\(x_{1} < x_{2}.\)若对任意的\(x∈[x_{1},x_{2}]\)，\(f(x) > (1)\)恒成立，求\(m\)的取值范围．

              难度：中等
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            • 10． 如果曲线\(y=x^{3}+x-10\)的某一切线与直线\(y=4x+3\)平行，求切点坐标与切线方程．
              难度：较难
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