知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=xe^x（e为自然对数的底）．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．

难度：较易

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2．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

难度：难

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3．设函数 $f%28x%29%3Dax-%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Bx%7D$ ，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=（ax²+x+2）e^x（a＞0），其中e是自然对数的底数．
（1）当a=2时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[-2，2]上是单调增函数，求a的取值范围；
（3）当a=1时，求整数t的所有值，使方程f（x）=x+4在[t，t+1]上有解．

难度：较难

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5．已知二次函数f（x）=ax²+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

难度：较易

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7．如果曲线y=x³+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=lnx．
（1）若直线y=
1
2
x+m是曲线y=f（x）的切线，求m的值；
（2）若直线y=ax+b是曲线y=f（x）的切线，求ab的最大值；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），是曲线y=f（x）上相异三点，其中0＜x₁＜x₂＜x₃，求证：
f(x2)-f(x1)
x2-x1
＞
f(x3)-f(x2)
x3-x2
．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同两点，若x₀=
x1+x2
2
试证明k＞g′（x₀）

难度：较难

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10．我们把y=x^m（m∈Q）叫做幂函数．幂函数y=x^m（m∈Q）的一个性质是：当m＞0时，在（0，+∞）上是增函数；当m＜0时，在（0，+∞）上是减函数．设幂函数f（x）=xⁿ（n≥2，n∈N）．
（1）若g_n（x）=f（x）+f（a-x），x∈（0，a），证明：
an
2n-1
≤gn(x)＜an
（2）若g_n（x）=f（x）-f（x-a），对任意n≥a＞0，证明：g_n′（n）≥n!a．

难度：较难

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