知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=f'（1）e^x^﹣¹﹣f（0）x+ $\text{[math]}$ 的导数，e为自然对数的底数）g（x）= $\text{[math]}$ +ax+b（a∈R，b∈R）
（Ⅰ）求f（x）的解析式及极值；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x），求 $\text{[math]}$ 的最大值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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3．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设bn=
3
anan+1
，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得Tn＜
m
20
对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=x³+ax²-x+c，且a=f′(
2
3
)．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=lnx+ax²．
（Ⅰ）记m（x）=f′（x），若m′（1）=3，求实数a的值；
（Ⅱ已知函数g（x）=f（x）-ax²+ax，若g（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=2x³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象（如图所示）经过点（1，0），（2，0）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0恰有2个根，求m的值．

难度：中等

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7．计算
（1）已知f（x）=（x²+2x）e^x，求f′（-1）；
（2）∫

π
0
cos²
x
2
dx．

难度：中等

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8．已知
m
=(a，b)，
n
=（2sinx，2cosx），其中a，b，x∈R．若f（x）=
m
•
n
，满足f（
π
3
）=2，且f（x）的导函数f′（x）的图象关于直线x=
5π
6
对称．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x的方程f（x）+log₂k=0在区间[0，
π
2
]上总有实数解，求实数k的取值范围．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=e^2x-alnx，x∈（0，1）．
（1）讨论函数f（x）的导函数f′（x）的零点个数；
（2）当a=1时，证明：f（x）＞
3
2
．

难度：较难

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10．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积；
（3）若直线x=-t（0＜t＜1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值．

难度：中等

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