知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=
a
3
x3+x．
（1）当m=-2时，求f（x）的单调区间；
（2）若m=
3
2
时，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=alnx-x+
1
x
，g（x）=x²+x-b．y=f（x）图象恒过定点P，且P点既在y=g（x）图象上，又在y=f（x）的导函数的图象上．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设h（x）=
f(x)
g(x)
，求证：当x＞0且x≠1时，h（x）＜0；
（Ⅲ）求证：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞lnn+
n+1
2n
（n≥2且n∈N^*）．

难度：较难

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3．设函数已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-
1
3
和x=1处取得极值．
（1）求a，b的值及其单调区间；
（2）若对x∈[-1，2]不等式f（x）≤c²恒成立，求c的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=ln（1+x）-x+
k
2
x2（k＞0），
（1）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当k≠1时，求函数f（x）的单调区间．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）试求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若g（x）=f′（x），直线y=kx+b与曲线g（x）相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）不同两点，若x₀=
x1+x2
2
试证明k＞g′（x₀）

难度：较难

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6．函数f（x）=e^x（ax²+m）（其中a，m是实数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，m=1，函数f（x）的图象上有三个点：A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂），C（x₃，f（x₃），
满足：x₁＜x₂＜x₃，试判断A，B，C三点是否在同一条直线上，并证明你的结论．

难度：较难

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7．
【题文】（本小题满分12分）
为实数，函数
（1）求的单调区间
（2）求证：当且时，有
（3）若在区间恰有一个零点，求实数的取值范围.

难度：中等

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8．
【题文】已知函数．
（1）若在上恒成立，求m取值范围；
（2）证明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn（）．

难度：中等

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9．
【题文】已知函数
（1）讨论函数f (x)的极值情况；
（2）设g (x) =" ln(x" + 1)，当x₁>x₂>0时，试比较f (x₁ – x₂)与g (x₁ – x₂)及g (x₁) –g (x₂)三者的大小；并说明理由．

难度：较易

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10．
【题文】设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。
（Ⅰ）求的值，并讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：当

难度：中等

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