知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a∈R，函数f（x）=ln（x+a）-x，曲线y=f（x）与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数m使得
f(x)
x
＞m(1-ex)恒成立？若存在，求实数m的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=
lnx
x
．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求证：f（x）＞g（x）；
（3）若f（x）+ax+b≥0，求
b+1
a+1
的最小值．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=mx³+nx（x∈R）．若函数f（x）的图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，3]的最值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=-
n
3
x³-
1
2
x²+2mx．
（1）若m=3，n=1，求f（x）的极值；
（2）若n=-1，-2＜m＜0，f（x）在[1，4]上的最大值为
16
3
，求f（x）在该区间上的最小值．

难度：中等

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5．已知函数h（x）=-2ax+lnx．
（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；
（2）令f（x）=
a
2
x²+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁•x₂＞
1
2
，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若存在x₀∈[1+
2
2
，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

难度：较难

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8．已知f（x）=e^x，g（x）=x+1．
（1）证明：f（x）≥g（x）；
（2）求y=f（x），y=g（x）与x=-1所围成的封闭图形的面积．

难度：中等

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9．如图，在半径为10
3
cm的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V（cm³）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ（rad），将V表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

难度：中等

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10．已知函数φ（x）=
a
x+1
，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
9
2
，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，当x₁≠x₂时，都有
g(x2)-g(x1)
x 2-x 1
＜-1，求a的取值范围．

难度：较难

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