知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=-aln(x+1)+
a+1
x+1
-a-1（a∈R）
（1）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若对任意的正整数[-1，1）都有(1+
1
n
)n-a＞e成立，求a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=xlnx-
a
2
x²（a∈R）．
（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若函数g（x）=f（x）-x有两个极值点x₁，x₂，求证：
1
lnx1
+
1
lnx2
＞2ae．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x₀∈（a，b），使得f′(x0)=
f(b)-f(a)
b-a
．试用这个结论证明：若-1＜x₁＜x₂，函数g(x)=
f(x1)-f(x2)
x1-x2
(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正数λ₁，λ₂，…，λ_n，满足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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5．设函数f（x）=lnx，g（x）=x-
1
x
．
（1）求函数φ（x）=
5
4
f（x）-
1
2
g（x）的极值；
（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．

难度：中等

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6．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=e^xlnx．（其中e为自然对数的底数），
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线x+（e-1）y=1垂直，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，是否存在实数x₀∈[1，e]，使曲线C：y=g（x）-f（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=6lnx+x²-8x，g(x)=
p
x
+x2
(p∈R)
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若在区间[1，e]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数p的取值范围．

难度：较难

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