知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f\left( x \right)=a{{x}^{2}}-\left( 2a+1 \right)x+\ln x,a\in R,g\left( x \right)={{e}^{x}}-x-1$，若对于任意的${{x}_{1}}\in \left( 0,+\infty \right),{{x}_{2}}\in R$，不等式$f\left( {{x}_{1}} \right)\leqslant g\left( {{x}_{2}} \right)$恒成立，则实数$a$的取值范围为______．

难度：难

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2．已知$a\leqslant 4x$${\,\!}^{3}$$+4x$${\,\!}^{2}$$+1$对任意$x∈[-1,1]$都成立，则实数$a$的取值范围是________．

难度：较易

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3．
$(1)$
设$x$、$y$满足约束条件$\begin{cases}\begin{matrix}x\geqslant 0 \\ x\geqslant y\end{matrix} \\ 2x-y\leqslant 1\end{cases} $若目标函数为$z=2x+4y$，则$z$的最大值为____．

$(2)$ 已知锐角$\triangle ABC$的外接圆半径为$ \dfrac{ \sqrt{3}}{3}BC $，且$AB=3$，$AC=4$，则$BC=$           ．

$(3)$ 已知函数$f(x)=({2}^{x}− \dfrac{1}{{2}^{x}})⋅{x}^{3} $，且$f(x−2) > 0 $，则实数$x $的取值范围是_____$.$

$(4)$ 已知函数$f(x)= \dfrac{1}{4} x^{2}+ \dfrac{1}{2} x+a(x < 0)$，$g(x)=\ln x(x > 0)$，其中$a∈R.$若存在$A$点、$B$点使得$f(x)$的图象在点$A(x_{1},f(x_{1}))$处的切线与$g(x)$的图象在点$B(x_{2},f(x_{2}))$处的切线重合，则$a$的取值范围为_____$.$

难度：中等

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4．

$(1){{(\left| x \right|+\dfrac{1}{\left| x \right|}-2)}^{3}}$展开中的常数项是_________________．

$(2)$在极坐标系中，两条曲线${{C}_{1}}:\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{4})=1$，${{C}_{2}}:\rho =\sqrt{2}$的交点为$A,B$，则$\left| AB \right|=$ _________．

$(3)$已知随机变量$X\tilde{\ }B\left( 2,p \right)$，$Y\tilde{\ }N\left( 2,{{\sigma }^{2}} \right)$，若$P\left( X\geqslant 1 \right)=0.64$，$P(0 < Y < 2)=p$，则$P(Y > 4)=$__________．

$(4)$已知函数$f\left( x \right)=2\sin x+\sin 2x$，则$f\left( x \right)$的最小值是_____________．

难度：中等

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5．

$(1)$已知函数$f(x)=2{{f}^{{{{'}}}}}(1)\ln x-x$，则$f(x)$的极大值___________

$(2)$如果函数$y=f(x)$的导函数的图象如图所示，给出下列判断：

$①$函数$y=f(x)$在$\left( \left. -3,- \dfrac{1}{2} \right. \right)$内单调递增；

$②$函数$y=f(x)$在区间$\left( \left. - \dfrac{1}{2},3 \right. \right)$内单调递减；

$③$函数$y=f(x)$在区间$(4,5)$内单调递增；

$④$当$x=2$时，函数$y=f(x)$有极小值；

$⑤$当$x=- \dfrac{1}{2}$时，函数$y=f(x)$有极大值．

则上述判断中正确的是___________________ $($填出正确选项的序号$)$

$(3)$已知$a$为实数，若函数$f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+\dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2}a$存在极值点，则$a$的取值范围是_____

$(4)$设函数$f(x)=x^{3}- \dfrac{9}{2}x^{2}+6x-a.$ 若方程$f(x)=0$有且仅有一个实根，则$a$的取值范围是__________________

$(5)$设$x^{3}+ax+b=0$，其中$a$，$b$均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_______$.($写出所有正确条件的编号$)$

$①a=-3$，$b=2$；$②a=-3,b=-4$；$③a=1$，$b=2$；$④a=0$，$b=2$；$⑤a=-3$，$b > 2$

$(6)$已知函数$f(x)={{x}^{2}}+{{e}^{x}}-\dfrac{1}{2}(x < 0)$与$g(x)={{x}^{2}}+\ln (x+a)$的图像上存在关于$y$轴对称的点，则$a$的取值范围是________

难度：较难

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6．
已知函数$f(x)$的定义域为$[-1,5]$，部分对应值如下表．

$x$ $-1$ $0$ $4$ $5$

$f(x)$ $1$ $2$ $2$ $1$

$f(x)$的导函数$y=f′(x)$的图象如图所示：
下列关于$f(x)$的命题：
$①$函数$f(x)$是周期函数；
$②$函数$f(x)$在$[0,2]$是减函数；
$③$如果当$x∈[-1,t]$时，$f(x)$的最大值是$2$，那么$t$的最大值为$4$；
$④$当$1 < a < 2$时，函数$y=f(x)-a$有$4$个零点；
$⑤$函数$y=f(x)-a$的零点个数可能为$0$、$1$、$2$、$3$、$4$个．
其中正确命题的序号是 ______ ．

难度：难

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7．
当$x∈[-1,2]$时，$x^{3}-x^{2}-x < m$恒成立，则实数$m$的取值范围是 ______ ．

难度：较易

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8．
当$x∈[-2,1]$时，不等式$ax^{3}-x^{2}+4x+3\geqslant 0$恒成立，则实数$a$的取值范围是 ______ ．

难度：中等

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9．
已知函数$g\left(x\right)={x}^{2}-2ax+4 $，$f\left(x\right)=x- \dfrac{1}{x+1} $，若对于任意${x}_{1}∈\begin{bmatrix}0, & 1\end{bmatrix} $，存在${x}_{2}∈\begin{bmatrix}1, & 2\end{bmatrix} $，使$f\left({x}_{1}\right)\geqslant g\left({x}_{2}\right) $，则实数的取值范围是__．

难度：难

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10．（2016•北京）函数f（x）= $\text{[math]}$ （x≥2）的最大值为．

难度：中等

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\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(4\)	\(5\)
\(f(x)\)	\(1\)	\(2\)	\(2\)	\(1\)