知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函数F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（2）设a_n=sin
1
(n+1)2
，求证：
n
k=1
ak＜ln2．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=4lnx-x+
3
x
，g（x）=2x²-bx+20，若对于任意x₁∈（0，2），都存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数b的取值范围是．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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4．已知常数a≠0，f（x）=alnx+2x．
（1）当a=-4时，求f（x）的极值；
（2）当f（x）的最小值不小于-a时，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．设函数f（x）=1nx+
a
2
x²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求函数（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＜
a
2
x2-x-a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．设函数f（x）=lnx，g（x）=x-
1
x
．
（1）求函数φ（x）=
5
4
f（x）-
1
2
g（x）的极值；
（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=x-
1
x
-alnx．
（1）若f′（2+
3
）=0，求函数f（x）的极大值点；
（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数h（x）=-2ax+lnx．
（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；
（2）令f（x）=
a
2
x²+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁•x₂＞
1
2
，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若存在x₀∈[1+
2
2
，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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9．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过点P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）设函数g（x）=f（x）-2x+2，证明：g（x）≤0．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=lnx-x
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程
（2）证明：|f(x)|＞
lnx
x
+
1
2

（3）设m＞n＞0，比较
f(m)-f(n)
m-n
+1与
m
m2+n2
的大小，并说明理由．

难度：较难

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