1.
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路\(.\)记两条相互垂直的公路为\(l_{1}\),\(l_{2}\),山区边界曲线为\(C\),计划修建的公路为\(l.\)如图所示,\(M\),\(N\)为\(C\)的两个端点,测得点\(M\)到\(l_{1}\),\(l_{2}\)的距离分别为\(5\)千米和\(40\)千米,点\(N\)到\(l_{1}\),\(l_{2}\)的距离分别为\(20\)千米和\(2.5\)千米\(.\)以\(l_{2}\),\(l_{1}\)所在的直线分别为\(x\),\(y\)轴,建立平面直角坐标系\(xOy.\)假设曲线\(C\)符合函数\(y= \dfrac{a}{x^{2}+b}(a,b\)为常数\()\)模型.
\((1)\)求\(a\),\(b\)的值;
\((2)\)设公路\(l\)与曲线\(C\)相切于\(P\)点,\(P\)的横坐标为\(t\).
\(①\)请写出公路\(l\)长度的函数解析式\(f(x)\),并写出其定义域.
\(②\)当\(t\)为何值时,公路\(l\)的长度最短?求出最短长度.