知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知无穷数列{a_n}满足a_n+1=p•a_n+
q
an
（n∈N^*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．
（1）若p=
1
2
，q=2，且a₃=
41
20
，求a₁的值；
（2）若a₁=5，p•q=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若a₁=2，q=1，且{a_n}是单调递减数列，求实数p的取值范围．

难度：较难

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2．已知数列{a_n}是无穷数列，a₁=a，a₂=b（a，b是正整数），an+1=
an
an-1
(
an
an-1
＞1)
，
an-1
an
(
an
an-1
≤1)
．
（Ⅰ）若a₁=2，a₂=1，写出a₄，a₅的值；
（Ⅱ）已知数列{a_n}中ak=1(k∈N*)，求证：数列{a_n}中有无穷项为1；
（Ⅲ）已知数列{a_n}中任何一项都不等于1，记b_n=max{a_2n-1，a_2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b_n}是单调递减数列．

难度：较难

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3．在数列{a_n}中，a₁＜-|k|，a_n+1=
1
2
（a_n+
k2
an
）（n∈N^*，k∈R，k≠0）
（1）判断数列{a_n}的增减性，并说明理由；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＞2a₁+（2-n）|k|．

难度：中等

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4．数列{a_n}的通项公式为a_n=30+7n-n²，n∈N^*．
（I）若a_n＞0，求n的取值；
（Ⅱ）数列{a_n}中，是否存在最大项？若存在，求出最大项；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}：
1
3
，-
1
2
，
3
5
，-
2
3
，…
（1）写出数列的通项公式；
（2）计算a₁₀，a₁₅，a_2n+1；
（3）证明；数列{|a_n|}是递增数列．

难度：较易

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6．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n（14-n），考查这个数列的单调性．并求它的最大项．

难度：较易

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7．在数列{a_n}中，a_n=（n-7）（
1
2
）ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的最大项．

难度：中等

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8．已知无穷数列{a_n}满足：a₁=2015^-1，a_n²-2a_n+2a_n-1=0，（n≥2）．
（Ⅰ）试判断数列{a_n}的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）求证：（i）0≤a_n≤
1
2
；
（ii）
1
2-a1
+
1
2-a2
+…+
1
2-an
≤2015．

难度：中等

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9．已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，a_n²+2a²_n+1≤3a_na_n+1．
（1）求证：
1
2n-1
≤a_n≤1．
（2）设b_n=
an
a2n+1
-
1
an+1
，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2ⁿ⁺¹-2．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，a₁=
4
3
，且有a_n+1=a_n²-a_n+1，n∈N^*
（I）求证：数列{a_n}是递增数列；
（Ⅱ）记S_n=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
，T_n=
1
a1
•
1
a2
•…•
1
an
求证：S_n+3T_n=3．

难度：中等

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