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          共50条信息

            • 1．

              已知在正整数数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{n+2}=2a_{n+1}-a_{n}+2\)。

              \((1)\)求\(a_{3}\)，\(a_{4}\)；

              \((2)\)设\(b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\)，证明数列\(｛b_{n}｝\)是等差数列；

              \((3)\)求\(｛a_{n}｝\)的通项公式。

              难度：中等
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            • 2．

              已知数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，\({a}_{1}=0,{S}_{n}+n={a}_{n+1},n∈{N}^{*} \)

              \((1)\)求证：数列\(\left\{{a}_{n}+1\right\} \)是等比数列；

              \((2)\)设数列\(\left\{{b}_{n}\right\} \)的首项\({b}_{1}=1 \)，其前\(n\)项和为\({T}_{n} \)，且满足\(\dfrac{{T}_{n+1}}{n+1}= \dfrac{{T}_{n}}{n}+ \dfrac{1}{2} \)，求数列\(\left\{ \dfrac{{b}_{n}}{{a}_{n}+1}\right\} \)的前\(n\)项和\(R_{n}\)

              难度：中等
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            • 3． 已知等差数列{an}中，a10=30，a20=50．
              （1）求数列{an}通项；
              （2）若记，求数列{bn}的前n项和Sn．
              难度：较易
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            • 4．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前三项为\(a-1\)，\(4\)，\(2a\)，记前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)设\(S_{k}=2550\)，求\(a\)和\(k\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {S_{n}}{n}\)，求\(b_{3}+b_{7}+b_{11}+…+b_{4n-1}\)的值．
              难度：较难
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            • 5．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\({{a}_{n+2}}=(1+{{\cos }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}){{a}_{n}}+{{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}\)，\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)

              \((\)Ⅰ\()①\)求\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)，\(a_{6}\)；

              \(②\)证明数列\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a_{7}\)，\(…\)，\(a_{2k-1}\)，\(…(k∈N^{*})\)成等差数列

              \((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{2n-1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n+1}}}+{{a}_{2n+1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n-1}}}}\)，若\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)，求\(T_{n}\)

              难度：难
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            • 6． 已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{17}=66\)，通项公式是项数\(n\)的一次函数．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)88\)是否是数列\(\{a_{n}\}\)中的项？
              难度：易
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            • 7． 已知数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)中， \(a\)\({\,\!}_{1}=1\)，\({a}_{n+1}= \dfrac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}} ( \)\(n\)\(∈N_{+}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求 \(a\)\({\,\!}_{2}\)， \(a\)\({\,\!}_{3}\)， \(a\)\({\,\!}_{4}\)的值，猜想数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)运用\((\)Ⅰ\()\)中的猜想，写出用三段论证明数列\(\{\dfrac{1}{{a}_{{n}}}\}\)是等差数列时的大前提、小前提和结论．
              难度：较难
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            • 8． 已知等差数列\(\{{{a}_{n}}\}\)满足\({{a}_{1}}=1,{{a}_{2}}=2\)，\(2{a}_{n-1} < {a}_{n-1}+{a}_{n+1} < 2{a}_{n+1}(n∈N,n\geqslant 2) \)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；\((\)Ⅱ\()\)将数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：
              第\(1\)行    \({{a}_{1}}\) 第\(2\)行   \({{a}_{2}}\)    \({{a}_{3}}\) 第\(3\)行 \({{a}_{4}}\)   \({{a}_{5}}\)   \({{a}_{6}}\) 第\(4\)行 \({{a}_{7}}\)   \({{a}_{8}}\)   \({{a}_{9}}\)   \({{a}_{10}}\)


              \(……\)
              依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为\(\{{{b}_{n}}\}\)，求\({{b}_{5}}+{{b}_{100}}\)的值； \((\)Ⅲ\()\)令\({{c}_{n}}=2+b{{a}_{n}}+b\cdot {{2}^{{{a}_{n}}-1}}\) \((b\)为大于等于\(3\)的正整数\()\)，问数列\(\{{{c}_{n}}\}\)中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 9．

              已知各项均为正数的等比数列\(\{a_{n}\}\)满\(-{{a}_{3}},{{a}_{2}},{{a}_{4}}\)成等差数列

              \((1)\)若\({{a}_{1}}=1\)，求\(\{a_{n}\}\)的前项和\({{S}_{n}};\)

              \((2)\)若\({{b}_{n}}={{\log }_{2}}{{a}_{2n+1}}\)，且数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}={{n}^{2}}+3n\)，求\({{a}_{1}}\)

              难度：难
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            • 10． 已知数列\(\{a_{n}\}\)是公比为\(2\)的等比数列，且\(a_{2}\)，\(a_{3}+1\)，\(a_{4}\)成等差数列．
              \((I)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((II)\)记\(b_{n}=a_{n}+n\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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