知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设m个正数a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）依次围成一个圆圈．其中a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N*）是公差为d的等差数列，而a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为q的等比数列．
（1）若a₁=d=1，q=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=q=3，m＜2015，求m的最大值；
（3）当q=2时是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．设已知{a_n}是递增的等比数列，若a₂=2，a₄-a₃=4，
（Ⅰ）求首项a₁及公比q的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的第5项a₅的值及前5项和S₅的值．

难度：中等

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3．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a₅²=a₁₀，求数列{
an
3n
}的前n项和S_n．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}满足b_n=a_n+n，若b₂，b₅，b₁₁成等比数列，且b₃=a₆．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{
1
anbn
}的前n项和S_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}是的通项公式为a_n=eⁿ（e为自然对数的底数）；
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若b_n=lna_n，求数列{
1
bnbn+1
}的前n项和T_n．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}中，a₁=2，且2an=an-1+1(n≥2，n∈N+)．
（I）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n（a_n-1），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：1≤S_n＜4．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的首项a₁=5，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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8．已知在等比数列{a_n}中，a_n+1＞a_n，对n∈N^*恒成立，且a₁a₄=8，a₂+a₃=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式（
Ⅱ）若数列{b_n}满足
a1
b1
+
3a2
b2
+…+
(2n-1)an
bn
=n，（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知等差数列{a_n}的首项为1，等比数列{b_n}的前两项为a₂，a₅且公比为3，记数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{b_n}的前n项和为B_n．
（I）求A_n，B_n；
（Ⅱ）如果
an
An
≥
bn
Bn
，试求所有正整数n的值．

难度：中等

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10．若存在一数列的前n项为na_n，则称该数列为数列{a_n}的“一阶衍生数列”，记作{（a_n）₁}；同样的，若存在一数列的前n项和为n（a_n）₁，则称该数列为数列{a_n}的“二阶衍生数列”，记作{（a_n）₂}．记（a_m）_k为数列{a_n}的“k阶衍生数列”中的第m项．己知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（1）写出数列{（a₂）_n-1}的前四项；
（2）求证：对任意给定的m≥2且m∈N₊，数列{（a_m）_n-1}为等比数列．

难度：较难

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