知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等比数列{a_n}中，a₃=
3
2
，S₃=
9
2
，求a₁与q．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足a₁=2和3a_n+1=a_n，n=1，2，…，
（1）证明：数列{a_n}为等比数列，并写出它的通项公式；
（2）记b_n=a_n+n，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1），求数列{
bn
an+1
}的前n项和T_n，并证明：
1
2
≤T_n＜2．

难度：中等

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4．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁=3，a₂是方程x²-5x-6=0的根．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=
2n-1
(an-1)(an+1-1)
，求数列{c_n}的前n项和．

难度：中等

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5．已知等比数列{a_n}的前3项和为26，积为216．求等比数列{a_n}的公比q，并写出前3项．

难度：中等

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6．已知等比数列{a_n}的首项a₁=25，公比为5．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₅（5a_n），n=1，2，…，证明：{b_n}是等差数列，并求b₁+b₂+…+b₁₀₀的值．

难度：较易

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7．若数列{a_n}满足|a_n+1-a_n|=p，当p=
1
2
时，则称{a_n}为“规则数列”；当p=
1
2n
时，则称{a_n}为“收缩数列”，记S_n=a₁+a₂+…+a_n
（1）若{a_n}是首项为2的“规则数列”，求a₂₀₁₆的不同取值个数以及最大值，求使得S_n=0成立的n的最小值
（2）已知{a_n}是首项为3的“规则数列”，求证：a₉₉=52成立的充要条件是数列{a_n}是递增数列；
（3）是否存在首项a₁≥1的“收缩数列”{a_n}，使得
lim
n→∞
S_n存在，若存在，求出极限；若不存在，请说明理．

难度：中等

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8．设{a_n}是首项为a，公比为q（q≠1）的等比数列，求a₁
C
0
n
+a₂
C
1
n
+…+a_n-1
C
n
n
的值．

难度：中等

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9．在等比数列{a_n}中，公比q≠1；
（1）已知a₁，q，n，求a₄与S_n；
（2）已知a_n，q，n，求S_n；
（3）已知q，S_n，n，求a₁与a_n．

难度：中等

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10．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（Ⅰ）求证：a₂，a₈，a₅成等差数列；
（Ⅱ）若a₁-a₄=3，求a₁+a₄+a₇+…a₃₁．

难度：中等

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