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          共50条信息

            • 1． 某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树． 在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：
              （1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．
              （2）定义：f（n+1）-f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 若数列{an}中不超过f（m）的项数恰为bm（m∈N*），则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f（m）是数列{an}生成{bm}的控制函数．
              （1）已知an=n2，且f（m）=m2，写出b1、b2、b3；
              （2）已知an=2n，且f（m）=m，求{bm}的前m项和Sm；
              （3）已知an=2n，且f（m）=Am3（A∈N*），若数列{bm}中，b1，b2，b3是公差为d（d≠0）的等差数列，且b3=10，求d的值及A的值．
              难度：较难
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            • 3． 对于数列{an}，称P（ak）=
              1
              k-1
              (|a1-a2|+|a2-a3|+…+|ak-1-ak|)              （其中k≥2，k∈N）为数列{an}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（ak+1）＜P（ak），则称数列{an}为“趋稳数列”．
              （1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；
              （2）已知等差数列{an}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为Sn，试计算：Cn2P（S2）+Cn3P（S3）+…+CnnP（Sn）（n≥2，n∈N）；
              （3）若各项均为正数的等比数列{bn}的公比q∈（0，1），求证：{bn}是“趋稳数列”．
              难度：较难
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            • 4． 若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”
              （1）已知数列{an}中，a1=2，an+1=2an-1．
              ①求{an}的通项公式；
              ②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
              （2）已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z（n∈N*），求证：{an}为“等比源数列”
              难度：较难
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            • 5． 已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bn=n+1-ak（k=1，2，…，n）．
              （1）当n=3时，写出数列{an}和{bn}，使得a2=3b2；
              （2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
              （3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．
              （参考：12+22+…+n2=
              1
              6
              n（n+1）（2n+1））
              难度：中等
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            • 6． 若数列{an}满足a2-a1＜a3-a2＜a4-a3＜…an+1-an＜…，则称数列{an}为“上进数列”，若数列{an}是上进数列，且其通项an=λ•2n-n2（n∈N*，λ≠0），则λ的取值范围是    ．
              难度：较难
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            • 7． 已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r-1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．
              （1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；
              （2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；
              （3）已知数列{an}为“r关联数列”，且a1=-10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak-1+ak=a1+a2+…+am-1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 8． 已知x1、x2是函数f（x）=x2+mx+t的两个零点，其中常数m、t∈Z，记
              n
              i=0
              xi=x0+x1+…+xn              ，设Tn=
              n
              r=0
              x
              n-r
              1
              x
              r
              2
              （n∈N*）．
              （1）用m、t表示T1、T2；
              （2）求证：T5=-mT4-tT3；
              （3）求证：对任意的n∈N*，Tn∈Z．
              难度：较难
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            • 9． （2015秋•连江县校级月考）如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了an个单位，此时质点的位置为（Cn，0）．
              （Ⅰ）求an，Cn的表达式；并求数列{
              1
              an-1an
              }              的前n项和Sn．
              （Ⅱ）当n为何值时，tan∠ACnB取得最大，最大值为多少？
              难度：中等
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            • 10． （文）已知等差数列{an}的首项为p，公差为d（d＞0）．对于不同的自然数n，直线x=an与x轴和指数函数f（x）=（
              1
              2
              ）x的图象分别交于点An与Bn（如图所示），记Bn的坐标为（an，bn），直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面积分别为s1和s2，一般地记直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面积为sn．
              （1）求证：数列{sn}是公比绝对值小于1的等比数列；
              （2）设数列{an}的首项为p=-1，公差d=1，是否存在这样的正整数n，构成以bn，bn+1，bn+2为边长的三角形？并请说明理由；
              （3））设{an}的公差d=1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列{sn}各项的和S＞2010？如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说明理由．
              难度：较难
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