知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．若数列{a_n}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{a_n}为“等比源数列”
（1）已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-1．
①求{a_n}的通项公式；
②试判断{a_n}是否为“等比源数列”，并证明你的结论．
（2）已知数列{a_n}为等差数列，且a₁≠0，a_n∈Z（n∈N^*），求证：{a_n}为“等比源数列”

难度：较难

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2．购买某种汽车的费用为15万元，每年应交保险费，养路费及汽油费合计为1万元，汽车的年平均维修费如下：第1年4千元，第2年7千元，第3年1万元，依次成等差数列逐年递增，
（1）求这种汽车使用n年的年平均费用y与n的函数关系式；
（2）问使用多少年报废最合算（即使用多少年年平均费用最少）？

难度：中等

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3．已知数列{a_n}（n=1，2，3，…），⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0和⊙C₂：x²+y²+2x+2y-2=0．若⊙C₁和⊙C₂交于A、B两点，且这两点平分⊙C₂的周长
（1）求证数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁=1，则当⊙C₁面积最小时，求出⊙C₁的方程．

难度：中等

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4．若存在一数列的前n项为na_n，则称该数列为数列{a_n}的“一阶衍生数列”，记作{（a_n）₁}；同样的，若存在一数列的前n项和为n（a_n）₁，则称该数列为数列{a_n}的“二阶衍生数列”，记作{（a_n）₂}．记（a_m）_k为数列{a_n}的“k阶衍生数列”中的第m项．己知等差数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（1）写出数列{（a₂）_n-1}的前四项；
（2）求证：对任意给定的m≥2且m∈N₊，数列{（a_m）_n-1}为等比数列．

难度：较难

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5．甲虫是行动较快的昆虫之一，如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t（s） 1 2 3 … ？ … 60
距离s（cm） 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？

难度：较易

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6．下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第n个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为f（n）．

（1）求出f（2），f（3），f（4），f（5）；
（2）找出f（n）与f（n+1）的关系，并求出f（n）的表达式；
（3）求证：
1
f(1)
+
1
f(2)
+
1
f(3)
+…+
1
f(n)
＜
2
3
（n∈N^*）

难度：中等

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7．某餐厅供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用A_n、B_n分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出A_n与A_n-1的关系及B_n与B_n-1的关系．

难度：中等

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8．某市新区一街道AB长1500米，街道A处有大量河沙，为方便工作，需要提前在街面上每隔50米放置一车沙，现用一辆车将A年的沙由到远依次倒放在指定地点，问：将所有各点的沙倒完时，这辆车共往返行驶了多少路程？

难度：中等

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9．若数列{a_n}对任意n∈N^*，满足
an+2-an+1
an+1-an
=k（k为常数），则称数列{a_n}为等差比数列．
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2（a_n-1），求数列{a_n}的通项公式，并判断数列{a_n}是否为等差数列；
（2）若数列{a_n}为等差数列，试判断{a_n}是否一定为等差比数列，并说明理由；
（3）试写出一个等差比数列的通项公式a_n，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列，并证明之．

难度：中等

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10．设{a_n}是无穷数列，令a′k=
ak+ak+1
2
，（k=1，2，…），则称{a′_k}是{a_k}的均值数列．仿此可定义，{a″_k}是{a′_k}的均值数列，且{a″_k}是{a′_k}的第二级均值数列．若{a_k}的各级均值数列都是整数列，则称{a_k}是“好”数列，求证：若{a_k}是“好”数列，则{a_k²}也是“好”数列．

难度：较易

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时间t（s）	1	2	3	…	？	…	60
距离s（cm）	9.8	19.6	29.4	…	49	…	？