知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*
（1）证明数列{a_n-n}为等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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2．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N^*都成立．
（Ⅰ）求a₂的取值范围；
（Ⅱ）判断数列{a_n}能否为等比数列？说明理由；
（Ⅲ）设bn=(1+1)(1+
1
2
)…(1+
1
2n
)，cn=6(1-
1
2n
)，求证：对任意的n∈N^*，
bn-cn
an-12
≥0．

难度：较难

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3．由9个正数组成的矩阵
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列．给出下列结论：①第2列中的a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列；②第1列中的a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列；③a₁₂+a₃₂≥a₂₁+a₂₃；④若9个数之和等于9，则a₂₂≥1．其中正确的序号有（填写所有正确结论的序号）．

难度：较难

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4．数列{a_n}的通项公式为a_n=（
1
2
）^3-n，求证：数列{a_n}是等比数列，并求首项和公比．

难度：较易

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5．在等比数列中，a₂=
4
9
，a₄=
16
81
，那么这个数列的公比是．

难度：中等

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6．若数列{a_n}的首项为1，且2a_n+1-a_n=2，
（1）求证：{a_n-2}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=-n（a_n-2），求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜4．

难度：中等

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7．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，a_n+1=2S_n+n²-n+1（n≥1）．
（1）求证：数列{a_n+n-
1
2
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

难度：中等

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8．数列{a_n}前n项和S_n=3ⁿ-1，
（1）试写出数列的前4项，
（2）数列{a_n}是等比数列吗？
（3）求出数列的通项公式．

难度：中等

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9．已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=
1(n=0)
f[g(n-1)](n≥1)
．
（1）若a_n=g（n）-g（n-1）（n∈N^*），求证：{a_n}为等比数列；
（2）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，求S_n（用n，b表示）．

难度：中等

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10．已知数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=
2n+2
n
a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{
an
n
}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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