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          共50条信息

            • 1．

              设各项均为正数的数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，满足\(4{{S}_{n}}=a_{^{_{n+1}}}^{2}-4n-1\)，且\({{a}_{1}}=1\)，公比大于\(1\)的等比数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)满足\({{b}_{2}}=3\)，\({{b}_{1}}+{{b}_{3}}=10\)．

              \((1)\)求证数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)是等差数列，并求其通项公式；

              \((2)\)若\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}}{3{{b}_{n}}}\)，求数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，若\({{c}_{n}}\leqslant {{t}^{2}}+\dfrac{4}{3}t-2\)对一切正整数\(n\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．

              难度：难
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            • 2．

              设\(M\subseteq {{N}^{+}}\)，正项数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项的积为\({{T}_{n}}\)，且\(\forall k\in M\)，当\(n > k \)时，\(\sqrt{{{T}_{n+k}}{{T}_{n-k}}}={{T}_{n}}{{T}_{k}}\)都成立．

              \((1)\)若\(M=\{1\}\)，\({{a}_{1}}=\sqrt{3}\)，\({{a}_{2}}=3\sqrt{3}\)，求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和；

              \((2)\)若\(M=\{3,4\}\)，\({{a}_{1}}=\sqrt{2}\)，求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式．

              难度：较难
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            • 3．

              若各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2 \sqrt[]{S_{n}}=a_{n}+1 (n∈N*)\)．

              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)若正项等比数列\(\{b_{n}\}\)，满足\(b_{2}=2\)，\(2b_{7}+b_{8}=b_{9}\)，求\(T_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)；

              \((3)\)对于\((2)\)中的\(T_{n}\)，若对任意的\(n∈N^{*}\)，不等式\(λ·(-1)^{n} < \dfrac{1}{2^{n+1}}(T_{n}+21)\)恒成立，求实数\(λ\)的取值范围．

              难度：难
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            • 4．

              已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{3}=0\)，\(S_{5}=-5\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)求数列\(\{\)\(\}\)的前\(n\)项和．


              难度：中等
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            • 5． 数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\( \dfrac {1}{2a_{n+1}}= \dfrac {1}{2a_{n}}+1(n∈N^{*}).\)
              \((\)Ⅰ\()\)求证\(\{ \dfrac {1}{a_{n}}\}\)是等差数列；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(b_{n}=a_{n}⋅a_{n+1}\)，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：难
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            • 6． 已知各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足\(S_{n} > 1\)且\(6S_{n}=(a_{n}+1)(a_{n}+2)\)，\(n∈N^{*}\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项的和为\(b_{n}=-a_{n}+19\)，求数列\(\{|b_{n}|\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 7．

              数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\({{a}_{n}}+\dfrac{{{a}_{n+1}}}{2{{a}_{n+1}}-1}=0\) ．

              \((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\left\{ \dfrac{1}{{{a}_{n}}} \right\}\) 是等差数列；

              \((\)Ⅱ\()\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=2\)，\(\dfrac{{{b}_{n+1}}}{{{b}_{n}}}=\dfrac{2{{a}_{n}}}{{{a}_{n+1}}}\) ，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

              难度：难
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            • 8．

              设\(S_{n}\)是数列\(\{ a_{n}\}\)的前\(n\)项和，已知\({a}_{1}=1,{a}_{n+1}=2{S}_{n}+1(n∈{N}^{∗}) \)

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{ a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(\dfrac{b_{n}}{a_{n}}{=}3n{-}1\)，求数列\(\{ b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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            • 9．

              已知数列\(\{a_{n}\}\)是公差为正数的等差数列，\(a_{2}\)和\(a_{5}\)是方程\(x^{2}-12x+27=0\)的两个实数根，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(3^{n-1}b_{n}=na_{n+1}-(n-1)a_{n}\)

              \((1)\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；

              \((2)\)设\(T_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\(T_{n}\)

              难度：较易
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            • 10．

              \((1)\)在二项式\((ax^{2}+ \dfrac{1}{ \sqrt{x}} )^{5}\)的展开式中，若常数项为\(-10\)，则\(a=\)__________．

              \((2)\)在一个容量为\(5\)的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为\(10\)，但墨水污损了两个数据，其中一个数据的十位数字\(1\)未污损，即\(9\)，\(10\)，\(11\)，，那么这组数据的方差\(s^{2}\)可能的最大值是__________．

              \((3)\)如图，抛物线\(y^{2}=4x\)的一条弦\(AB\)经过焦点\(F\)，取线段\(OB\)的中点\(D\)，延长\(OA\)至点\(C\)，使\(|OA|=|AC|\)，过点\(C\)，\(D\)作\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(E\)，\(G\)，则\(|EG|\)的最小值为__________．


              \((4)\)在数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{n}= \dfrac{{n}^{2}}{{n}^{2}-1} a_{n-1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)，则数列\(\{ \dfrac{{a}_{n}}{{n}^{2}} \}\)的前\(n\)项和\(T_{n}=\)__．

              难度：较难
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