知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=6，S₅=15．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
an
2an
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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2．已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=
2
3
且13a₂=3S₃（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前项n和T_n．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}中，a_n+1=
1
3
an+
1
3n
（n∈N^*），a₁=1；
（1）设b_n=3ⁿa_n（n∈N^*），求证：{b_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求
lim
n→∞
9-4Sn
9an
的值．

难度：中等

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4．已知数列{a_n}是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设bn=
1
Sn
，数列{b_n}的前项和T_n，求T_n的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=2，T_n=b_n+1-2（n∈N）．
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记c_n=(
an
bn
)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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6．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1=4a_n+3，a₁=1．
（1）设b_n=log₂（a_n+1），求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）设c_n=
2(an+1)
•b_n，求数列{c_n}的前n项和．

难度：中等

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7．已知数列{a_n}的前项和为S_n，且满足2S_n=1-2a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=n•a_n，求证：数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意n∈N^*都有S_n+1-3S_n-1=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若（b_n-n）•a_n=n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}满足a₁=2和3a_n+1=a_n，n=1，2，…，
（1）证明：数列{a_n}为等比数列，并写出它的通项公式；
（2）记b_n=a_n+n，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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10．已知数列{an}的前n项和S_n满足关系式：
S_n=（
1+an
2
）²且a_n＞0．
（1）写出S_n与S_n-1（n≥2）的递推关系式，并求出S_n关于n的表达式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ•S_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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