知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足a₁=2，（n+1）a_n+1-（n+2）a_n=2（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，若数列{b_n}满足b_n=n•（-
6
3
）
Sn
n
，且b_n≤M对任意的n∈N^*恒成立，求M的最小值．

难度：中等

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2．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=6，S₅=15．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
an
2an
，求数列{b_n}的前n项和T_n．

难度：中等

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3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）证明：数列{
an
2n
}是等差数列；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=
n
(n+1)•22n-1
•an，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式（-1）ⁿλ＜T_n+
n
2n-1
对一切n∈N^*恒成立，求λ的取值范围．

难度：中等

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4．已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=
2
3
且13a₂=3S₃（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前项n和T_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}中，a_n+1=
1
3
an+
1
3n
（n∈N^*），a₁=1；
（1）设b_n=3ⁿa_n（n∈N^*），求证：{b_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求
lim
n→∞
9-4Sn
9an
的值．

难度：中等

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6．已知数列{a_n}是首项和公差相等的等差数列，其前n项和为S_n，且S₁₀=55．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）设bn=
1
Sn
，数列{b_n}的前项和T_n，求T_n的取值范围．

难度：中等

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7．设数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，则a₄的值为（　　）

A．4

B．6

C．8

D．10

难度：较易

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8．已知函数f（x）=2x+1，数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为T_n，且b₁=2，T_n=b_n+1-2（n∈N）．
（1）分别求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记c_n=(
an
bn
)，求数列{c_n}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知数列{a_n}前n项和为S_n，且满足3S_n-4a_n+2=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n为{b_n}的前n项和，求证：
n
k=1
1
T k
＜2．

难度：中等

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10．已知等比数列{a_n}满足a_n+1+a_n=10•4^n-1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=log₂a_n．
（I）求b_n，S_n；
（Ⅱ）设cn=bn•(
2Sn
n
+1)，求数列{an+
1
cn
}的前n项和T_n．

难度：中等

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