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          共50条信息

            • 1．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}= \dfrac {n^{2}}{2}+ \dfrac {3n}{2}\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}=a_{n+2}-a_{n}+ \dfrac {1}{a_{n+2}\cdot a_{n}}\)，且数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < 2n+ \dfrac {5}{12}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}+ \dfrac {1}{2}a_{n}=1(n∈N^{+}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}=\log _{ \frac {1}{3}}(1-S_{n})(n∈N^{+})\)，求\( \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\)的值．
              难度：较易
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            • 3．
              数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(S_{n+1}=S_{n}+a_{n}+2\)，\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{5}\)成等比数列．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\( \dfrac {b_{n}}{a_{n}}=( \sqrt {2})^{1+a_{n}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 4．
              已知等差数列\(\{a_{n}\}\) 的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}=λ\) \((\) \(λ > 0\) \()\)，\(a_{n+1}=2 \sqrt {S_{n}}+1\) \((n∈N*)\)．
              \((I)\)求 \(λ\) 的值；
              \((II)\)求数列\(\{ \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\}\) 的前 \(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：难
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            • 5．
              已知正项等比数列\(\{a_{n}\}\)，\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，\(a_{2}\)与\(a_{4}\)的等比中项为\( \dfrac {1}{8}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}=na_{n}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：较易
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n+1}=2S_{n}+1\)，其中\(S_{n}\)为\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)求\(a_{n}\)；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}= \dfrac {1}{(1+\log _{3}a_{n})(3+\log _{3}a_{n})}\)，\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且对任意的正整数\(n\)都有\(T_{n} < m\)，求\(m\)的最小值．
              难度：较易
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            • 7．
              正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\((n+2)^{2}\cdot b_{n}= \dfrac {n+1}{a_{n}^{2}}\)，且前\(n\)项和为\(T_{n}\)，且若对于\(∀n∈N^{*}\)，都有\(T_{n} < \dfrac {m^{2}}{5}(m∈R)\)，求\(m\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\(a_{1}= \dfrac {1}{2}\)，\(2a_{n+1}=S_{n}+1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a_{2}\)，\(a_{3}\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=2a_{n}-2n-1\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较难
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            • 9．
              设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项积为\(T_{n}\)，且\(T_{n}=2-2a_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：数列\(\{ \dfrac {1}{T_{n}}\}\)是等差数列；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac { \sqrt {2}}{ \sqrt { \dfrac {1}{T_{n}}}+ \sqrt { \dfrac {1}{T_{n+1}}}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：较易
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            • 10．
              已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，\(\{b_{n}\}\)是等比数列，其中\(a_{1}=b_{1}=1\)，\(a_{2}+b_{3}=a_{4}\)，\(a_{3}+b_{4}=a_{7}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)记\(c_{n}= \dfrac {1}{n}(a_{1}+a_{2}+…+a_{n})(b_{1}+b_{2}+…+b_{n})\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：较易
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