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          共50条信息

            • 1．
              设\(M⊆N^{+}\)，正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项的积为\(T_{n}\)，且\(∀k∈M\)，当\(n > k\)时，\( \sqrt {T_{n+k}T_{n-k}}=T_{n}T_{k}\)都成立．
              \((1)\)若\(M=\{1\}\)，\(a_{1}= \sqrt {3}\)，\(a_{2}=3 \sqrt {3}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和；
              \((2)\)若\(M=\{3,4\}\)，\(a_{1}= \sqrt {2}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              难度：较易
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{n+1}+(-1)^{n}a_{n}= \dfrac {n+5}{2}(n∈N^{*})\)，数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              \((1)\)求\(a_{1}+a_{3}\)的值；
              \((2)\)若\(a_{1}+a_{5}=2a_{3}\)．
              \(①\)求证：数列\(\{a_{2n}\}\)为等差数列；
              \(②\)求满足\(S_{2p}=4S_{2m}(p,m∈N^{*})\)的所有数对\((p,m)\)．
              难度：中等
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            • 3．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}+n=2a_{n}(n∈N*)\)．
              \((1)\)证明：数列\(\{a_{n}+1\}\)为等比数列，并求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}=na_{n}+n\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求满足不等式\( \dfrac {T_{n}-2}{n} > 2018\)的\(n\)的最小值．
              难度：中等
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            • 4．
              设\(S_{n}\)为正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，满足\(2S_{n}=a \;_{ n }^{ 2 }+a_{n}-2\)．
              \((I)\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((II)\)若不等式\((1+ \dfrac {2}{a_{n}+t})\;^{a_{n}}\geqslant 4\)对任意正整数\(n\)都成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((III)\)设\(b_{n}=e\;^{ \frac {3}{4}a_{n}\ln (n+1)}(\)其中\(r\)是自然对数的底数\()\)，求证：\( \dfrac {b_{1}}{b_{3}}+ \dfrac {b_{2}}{b_{4}}+..+ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}} < \dfrac { \sqrt {6}}{6}\)．
              难度：中等
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=k(3^{n}-1)\)，且\(a_{3}=27\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}=\log _{3}a_{n}\)，求数列\(\{ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 6．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}= \dfrac {n^{2}}{2}+ \dfrac {3n}{2}\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}=a_{n+2}-a_{n}+ \dfrac {1}{a_{n+2}\cdot a_{n}}\)，且数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < 2n+ \dfrac {5}{12}\)．
              难度：较易
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            • 7．
              设正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(S_{n}\)，\(a_{n}+1\)，\(4\)成等比数列．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}a_{n+1}}\)，设\(b_{n}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < \dfrac {1}{2}\)．
              难度：较易
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            • 8．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}+ \dfrac {1}{2}a_{n}=1(n∈N^{+}).\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(b_{n}=\log _{ \frac {1}{3}}(1-S_{n})(n∈N^{+})\)，求\( \dfrac {1}{b_{1}b_{2}}+ \dfrac {1}{b_{2}b_{3}}+…+ \dfrac {1}{b_{n}b_{n+1}}\)的值．
              难度：较易
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            • 9．
              已知在递增等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=2\)，\(a_{3}\)是\(a_{1}\)和\(a_{9}\)的等比中项．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(b_{n}= \dfrac {1}{(n+1)a_{n}}\)，\(S_{n}\)为数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和，求\(S_{100}\)的值．
              难度：较易
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            • 10．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(|a_{n+1}-a_{n}|=p^{n}\)，\(n∈N*\)．
              \((1)\)若\(p=1\)，写出\(a_{4}\)的所有值；
              \((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是递增数列，且\(a_{1}\)，\(2a_{2}\)，\(3a_{3}\)成等差数列，求\(p\)的值；
              \((3)\)若\(p= \dfrac {1}{2}\)，且\(\{a_{2n-1}\}\)是递增数列，\(\{a_{2n}\}\)是递减数列，求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式．
              难度：中等
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