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          共50条信息

            • 1． 已知数列\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)满足\(a_{n+1}-a_{n}=2(b_{n+1}-b_{n})\)，\(n∈N^{*}\)．
              \((1)\)若\(b_{n}=3n+5\)，且\(a_{1}=1\)，求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(\{a_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项，即\(a_{n\_{0}}\geqslant a_{n}(n∈N*)\)，求证：\(\{b_{n}\}\)的第\(n_{0}\)项是最大项；
              \((3)\)设\(a_{1}=3λ < 0\)，\(b_{n}=λ^{n}(n∈N^{*})\)，求\(λ\)的取值范围，使得对任意\(m\)，\(n∈N^{*}\)，\(a_{n}\neq 0\)，且\( \dfrac {a_{m}}{a_{n}}∈( \dfrac {1}{6},6)\)．
              难度：中等
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            • 2．

              在一次人才招聘会上，有\(A\)、\(B\)两家公司分别开出了它们的工资标准：\(A\)公司许诺第一年的月工资为\(1500\)元，以后每年月工资比上一年月工资增加\(230\)元；\(B\)公司许诺第一年的月工资为\(2000\)元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增\(5\%\)。若某人年初同时被\(A\)、\(B\)两家公司录取，问：

              \((1)\)若该人分别在\(A\)公司或\(B\)公司连续工作\(n\)年，则他在第\(n\)年的月工资收入分别是多少？

              \((2)\)该人打算连续在一家公司工作\(10\)年，仅从工资收入总量较多为应聘的标准，该人应选择哪家公司，为什么？\((1.{05}^{9}≈1.551, 1.{05}^{10}≈1.629, {{1.05}^{11}}\approx 1.710)\)

              \((3)\)在\(A\)公司工作比\(B\)公司工作的月工资收入最多可以多多少？\((\)精确到\(1\)元\()\)，并说明理由。\((1.{05}^{16}≈2.183 \)， \(1.{05}^{17}≈2.407 \)， \(1.{05}^{18}≈2.407 \) ，\({{1.05}^{19}}\approx 2.527)\)

              难度：较难
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            • 3．

              已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，且有\({{a}_{1}}=2\)，\(3{{S}_{n}}=5{{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}+3{{S}_{n-1}}(n\geqslant 2)\)．

              \((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

              \((2)\)若\({{b}_{n}}=(2n-1){{a}_{n}}\)，求数列\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和\({{T}_{n}}\)；

              \((3)\)若\({{c}_{n}}={{t}^{n}}[\lg {{(2t)}^{n}}+\lg {{a}_{n+2}}]{ }(0 < t < 1)\)，且数列\(\{{{c}_{n}}\}\)中的每一项总小于它后面的项，求实数\(t\)的取值范围．

              难度：难
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            • 4．

              已知等差数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，公差\(d\ne 0\)，\({{S}_{7}}=35\)，且\({{a}_{2}}\)，\({{a}_{5}}\)，\({{a}_{11}}\)成等比数列．

              \((1)\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

              \((2)\)若\({{T}_{n}}\)为数列\(\{\dfrac{1}{{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}}\}\)的前\(n\)项和，且存在\(n\in {{\mathrm{N}}^{*}}\)，使得\({{T}_{n}}-\lambda {{a}_{n+1}}\geqslant 0\)成立，求实数\(\lambda \)的取值范围．

              难度：中等
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            • 5． 设数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的各项都为正数，其前\(n\)项和为\(S\)\({\,\!}_{n}\)，已知对任意\(n∈N\)\({\,\!}^{*}\)，\(S\)\({\,\!}_{n}\)是\(a\)\(\rlap{_{n}}{^{2}}\)和\(a\)\({\,\!}_{n}\)的等差中项．
              \((1)\)证明：数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)为等差数列；

              \((2)\)若\(b\)\({\,\!}_{n}\)\(=-n+5\)，求\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(·b\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的最大项的值并求出取最大值时\(n\)的值．

              难度：中等
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            • 6．

              已知函数\(f(x)=\dfrac{3x}{ax+b}\)，\(f(1)=1\)，\(f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{4}\)，数列\(\{x_{n})\)满足\({{x}_{1}}=\dfrac{3}{2}\)，\(x_{n+1}=f(x_{n}).\)

              \((1)\)求\(x_{2}\)，\(x_{3}\)的值；

              \((2)\)求数列\(\{x_{n}\}\)的项公式；

              \((3)\)证明：\(\dfrac{{{x}_{1}}}{3}+\dfrac{{{x}_{2}}}{{{3}^{2}}}+...+\dfrac{{{x}_{n}}}{{{3}^{n}}} < \dfrac{3}{4}\)．

              难度：中等
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            • 7．

              已知首项为\(\dfrac{3}{2}\)的等比数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，\((n\in {{N}^{*}})\)，且\(-2{{S}_{2}},{{S}_{3}},4{{S}_{4}}\)成等差数列，

              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{{{a}_{n}}\}\)的通项公式；

              \((\)Ⅱ\()\)求\({{S}_{n}}(n\in {{N}^{*}})\)的最值．

              难度：中等
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            • 8．

              已知数列\(｛\)\(a_{n}\)\(｝\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}\)\(=2\)\(a_{n}\)\(-2\)，\(n\)\(∈N*\)．

              \((1)\)求数列\(｛\)\(a_{n}\)\(｝\)的通项公式；

              \((2)\)若数列\(｛\)\(b_{n}\)\(｝\)满足\( \dfrac{1}{{a}_{n}} = \dfrac{{b}_{1}}{2+1}- \dfrac{{b}_{2}}{{2}^{2}+1}+ \dfrac{{b}_{3}}{{2}^{3}+1} -…+(-1)\)\({\,\!}^{n}\)\({\,\!}^{+1} \dfrac{{b}_{n}}{{2}^{n}+1} \)，求数列\(｛\)\(b_{n}\)\(｝\)的通项公式；

              \((3)\)在\((2)\)的条件下，设\(c_{n}\)\(=2\)\({\,\!}^{n}\)\(+\)\(l\)\(b_{n}\)，问是否存在实数\(l\)，使得数列\(｛\)\(c_{n}\)\(｝\)是单调递增数列？若存在，求出\(l\)的取值范围；若不存在，请说明理由．

              难度：较难
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            • 9．
              已知\(f(x)=\ln x,g(x)= \dfrac {1}{2}ax^{2}+3x+1\)，\(e\)为自然对数\(\ln x\)的底数．
              \((\)Ⅰ\()\)若函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)存在单调递减区间，求实数\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(0 < α < β\)时，求证：\(\alpha f(\alpha )+\beta f(\beta ) > (\alpha +\beta )f( \dfrac {\alpha +\beta }{2})\)；
              \((\)Ⅲ\()\)求\(f(x)-x\)的最大值，并证明当\(n > 2\)，\(n∈N^{*}\)时，\(\log _{2}e+\log _{3}e+\log _{4}e\cdots +\log _{n}e > \dfrac {3n^{2}-n-2}{2n(n+1)}\)．
              难度：难
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            • 10．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}= \dfrac {3}{5},a_{n}=2- \dfrac {1}{a_{n-1}}(n\geqslant 2,n\in N*)\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}-1}(n\in N*)\)．
              \((1)\)求证：数列\(\{b_{n}\}\)是等差数列；
              \((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)中的最大项和最小项，并说明理由．
              难度：易
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