在数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)中，\({{a}_{{1}}}{+2}{{a}_{2}}+{{2}^{2}}{{a}_{3}}+\cdots +{{2}^{n-1}}{{a}_{n}}=(n\cdot {{2}^{n}}-{{2}^{n}}+1)\ t\)对任意\(n\in {{N}^{*}}\)成立，其中常数\(t > 0.\)若关于\(n\)的不等式\(\dfrac{1}{{{a}_{2}}}+\dfrac{1}{{{a}_{4}}}+\dfrac{1}{{{a}_{8}}}+\cdots +\dfrac{1}{{{a}_{{{2}^{n}}}}} > \dfrac{m}{{{a}_{1}}}\)的解集为\(\{n|n\geqslant 4,n\in {{N}^{*}}\}\)，则实数\(m\)的取值范围是                   ．

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{a}_{n}}=-n+t\)，数列\(\left\{ {{b}_{n}} \right\}\)的通项公式\({{b}_{n}}={{2}^{n}}\)，设数列\(\left\{ {{c}_{n}} \right\}\)满足\({{c}_{n}}=\dfrac{{{a}_{n}}+{{b}_{n}}}{2}+\dfrac{\left| {{a}_{n}}-{{b}_{n}} \right|}{2}\)，且\({{c}_{n}}\geqslant {{c}_{3}}\left( n\in {{N}^{{*}}} \right)\)，则实数\(t\)的取值范围是________________

已知数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{1}}=1\)，\({{a}_{n+1}}=c+\dfrac{1}{{{a}_{n}}}\)，且\(1\leqslant {{a}_{n}}\leqslant 4\)，则\(c\)的取值范围是___\(.\) 

函数\(f\left( x \right)=\dfrac{{{\log }_{3}}\left( x+1 \right)}{x+1}\left( x > 0 \right)\)的图象上有一点列\({{P}_{n}}\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)(n{∈}N_{{+}})\)，点\({{P}_{n}}\)在\(x\)轴上的射影是\({{Q}_{n}}\left( {{x}_{n}},0 \right)\)，且\({{x}_{n}}=3{{x}_{n-1}}+2\)\((\)\(n{\geqslant }2\)且\(n{∈}N\)\()\)，\({{x}_{1}}=2\)．

\((1)\)求出数列\(\left\{ {{x}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)对任意的正整数\(n\)，当\(m{∈}{[}{-}1{,}1{]}\)时，不等式\(3{{t}^{2}}-6mt+\dfrac{1}{3} > {{y}_{n}}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；

\((3)\)设四边形\({{P}_{n}}{{Q}_{n}}{{Q}_{n+1}}{{P}_{n+1}}\)的面积是\({{S}_{n}}\)，求证：\(\dfrac{1}{S_{1}}{+}\dfrac{1}{{2S}_{2}}{+}{…}{+}\dfrac{1}{{nS}_{n}}{ < }\dfrac{5}{4}\)．