知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知数列{a_n} 是一个首项为a₁ ，公比q＞0 的等比数列，前n项和为S_n ，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n_﹣₁ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

难度：中等

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2．已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^*），求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B2%7D-2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B3%7D-2%7D%2B%E2%80%A6%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D-2%7D%29$ 的值．

难度：较易

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3．已知数列{a_n}是一个首项为a₁，公比q＞0的等比数列，前n项和为S_n，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ 的值．

难度：较易

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4．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S_n；
（1）若S₃=3，S₆=-21，求公比q；
（2）若q＞0，且T_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ $%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ ．

难度：较易

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5．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-a_n+1，a₁=2．
（1）比较a_n与a_n+2的大小；
（2）证明： $2%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ ＜a_n+1-1＜2^2ⁿ（n≥2，n∈N^*）；
（3）记S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7DS_%7Bn%7D$ ．

难度：较易

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6．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由；
（2）证明：g（x）=（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ）^x是T倍周期函数，且T的值是唯一的；
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n= $%20%5Cfrac%20%7BS_%7B2n%7D%7D%7BS_%7B2n-1%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ C_n．

难度：中等

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7．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S_n，且T_n=
Sn
Sn+1
，求
lim
n→∞
T_n的值．

难度：中等

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8．设各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁=1，4S_n=（a_n+1）²（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
an+1
an
+
an
an+1
（∈N^*），试求
lim
n→∞
（b₁+b₂+…+b_n-2n）的值；
（3）是否存在大于2的正整数m、k，使得a_m+a_m+1+a_m+2+…+a_m+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．设{a_n}是公比为q（q≠1）的等比数列，若{a_n}中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{a_n}是封闭数列．
（1）若a₁=2，q=3，判断{a_n}是否为封闭数列，并说明理由；
（2）证明{a_n}为封闭数列的充要条件是：存在整数m≥-1，使a₁=q^m；
（3）记Π_n是数列{a_n}的前n项之积，b_n=log₂Π_n，若首项a₁为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列{a_n}，使
lim
n→∞
(
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
)=
11
9
，若存在，求{a_n}的通项公式；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_k+1=
1
1-ak
，k∈N*，b_n=
.
2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，d_n=
.
2(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

难度：较难

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