知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}各项均为正数，a₁=
1
2
，且对任意的n∈N^*，都有a_n+1=a_n+ca_n²（c＞0）．
（1）求
c
1+ca1
+
c
1+ca2
+
1
a3
的值；
（2）若c=
1
2016
，是否存在n∈N^*，使得a_n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．正项数列a₁，a₂，…，a_m（m≥4，m∈N^*）满足：a₁，a₂，a₃，…，a_k-1，a_k（k＜m，k∈N^*）是公差为d的等差数列，a₁，a_m，a_m-1，…，a_k+1，a_k是公比为2的等比数列．
（1）若a₁=d=2，k=8，求数列a₁，a₂，…，a_m的所有项的和S_m；
（2）若a₁=d=2，m＜2016，求m的最大值；
（3）是否存在正整数k，满足a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=3（a_k+1+a_k+2+…+a_m-1+a_m）？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3． S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N^*，都有S_n=2a_n-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{
1
an
}的前n项和为T_n，求使得|T_n-2|＜
1
500
成立的n的最小值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

难度：较难

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-2．（n≥2）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若x_n=1+
1
an
，设数列{x_n}的前n项积为T_n，求证：
①（1+
1
2n-1
）＜（1+
1
2n
）²（n∈N^*）；
②T_n≤2（1+
1
2n
） 2n-2（n∈N^*）．

难度：中等

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6．已知等差数列{a_n}中，a₃=-13，a₅=-11，n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（-1）ⁿ
.
an+1
.
（n＜16），求数列{b_n+
1
an
}的最大值和最小值；
（3）若c_n=a_n+16+
1
(an+16)2
，记数列{c_n}前n项和为S_n．
求证：
n2(n+1)+3n-1
2n
≤S_n≤
6n3+9n2+23n-2
6(2n+1)
．

难度：较难

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7．已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=
1
anan+1
，求数列{b_n}的前n项和；
（3）设c_n=
1
an2
，T_n为数列{c_n}的前n项和，求证：T_n＜
25
36
．

难度：中等

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8．己知数列{a_n}和致列{b_n}满足a₁=m，a_n+1=λa_n+n，b_n=a_n-
2n
3
+
4
9
．
（Ⅰ）当m=1时，求证：对于任意的实数λ，{a_n}一定不是等差数列；
（Ⅱ）当λ=-
1
2
，m≠
2
9
时，判断{b_n}是否为等比数列；
（Ⅲ）设S_n为数列{b_n}的前项和，在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数m，使得对任意的正整数n，都有
1
3
≤S_n≤
2
3
？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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9．设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正整数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₁₃b₂=50，a₈+b₂=a₃+a₄+5，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=（-1）^n-1•λ•b_n+2 an（λ为非零实数，n为正整数），试确定实数λ的取值范围，使得对任意的正整数n，都有c_n+1＞c_n恒成立．

难度：中等

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10．已知等差数列{a_n}中，a₂=3，a₅=9．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n和前n项和S_n；
（Ⅱ）证明：命题“∀n∈N⁺，
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
＜
1
2
”是真命题．

难度：中等

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