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          共50条信息

            • 1．
              如图所示，\(F_{1}\)是抛物线\(C\)：\(y^{2}=4x\)的焦点，\(F_{i}\)在\(x\)轴上，\((\)其中\(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…n)\)，\(F_{i}\)的坐标为\((x_{i},0)\)且\(x_{i} < x_{i+1}\)，\(P_{i}\)在抛物线\(C\)上，且\(P_{i}\)在第一象
              限\(\triangle P_{i}F_{i}F_{i+1}\)是正三角形．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：数列\(\{x_{i+1}-x_{i}\}\)是等差数列；
              \((II)\)记\(\triangle P_{i}F_{i}F_{i+1}\)的面积为\(S_{i}\)，证明：\( \dfrac {1}{S_{1}}+ \dfrac {1}{S_{2}}+ \dfrac {1}{S_{3}}+…+ \dfrac {1}{S_{n}} < \dfrac {3}{8} \sqrt {3}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              定义：从一个数列\(\{a_{n}\}\)中抽取若干项\((\)不少于三项\()\)按其在\(\{a_{n}\}\)中的次序排列的一列数叫做\(\{a_{n}\}\)的子数列，成等差\((\)等比\()\)的子数列叫做\(\{a_{n}\}\)的等差\((\)等比\()\)子列．
              \((1)\)记数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知\(S_{n}=n^{2}\)，求证：数列\(\{a_{3n}\}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的等差子列；
              \((2)\)设等差数列\(\{a_{n}\}\)的各项均为整数，公差\(d\neq 0\)，\(a_{5}=6\)，若数列\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a\;_{n_{1}}\)是数列\(\{a_{n}\}\)的等比子列，求\(n_{1}\)的值；
              \((3)\)设数列\(\{a_{n}\}\)是各项均为实数的等比数列，且公比\(q\neq 1\)，若数列\(\{a_{n}\}\)存在无穷多项的等差子列，求公比\(q\)的所有值．
              难度：难
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            • 3．
              在公差不为零的等差数列\(\{a_{n}\}\)中，已知\(a_{1}=1\)，且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{5}\)依次成等比数列\(.\)数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n+1}=2b_{n}-1\)，且\(b_{1}=3\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求数列\(\{a_{n}(b_{n}-1)\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)．
              难度：较易
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            • 4．
              有三个数成等差数列，前两个数的和的\(3\)倍正好是第三个数的\(2\)倍，如果把第二个数减去\(2\)，那么所得数是第一个数与第三个数的等比中项\(.\)求原来的三个数．
              难度：较易
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            • 5．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}.\)且\(S_{n}=2n^{2}+2n\)．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若点\((b_{n},a_{n})\)在函数\(y=1og_{2}x\)的图象上，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)．
              难度：较易
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            • 6．
              设数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(①a_{1}=1\)；\(②\)所有项\(a_{n}∈N^{*}\)；\(③1=a_{1} < a_{2} < … < a_{n} < a_{n+1} < …\)设集合\(A_{m}=\{n|a_{n}\leqslant m,m∈N^{*}\}\)，将集合\(A_{m}\)中的元素的最大值记为\(b_{m}.\)换句话说，\(b_{m}\)是数列\(\{a_{n}\}\)中满足不等式\(a_{n}\leqslant m\)的所有项的项数的最大值\(.\)我们称数列\(\{b_{n}\}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的伴随数列\(.\)例如，数列\(1\)，\(3\)，\(5\)的伴随数列为\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(3\)．
              \((1)\)请写出数列\(1\)，\(4\)，\(7\)的伴随数列；
              \((2)\)设\(a_{n}=3^{n-1}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的伴随数列\(\{b_{n}\}\)的前\(20\)之和；
              \((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+c(\)其中\(c\)为常数\()\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的伴随数列\(\{b_{m}\}\)的前\(m\)项和\(T_{m}\)．
              难度：中等
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            • 7．
              已知\(\{a_{n}\}\)是各项均为正数的等比数列，\(\{b_{n}\}\)是等差数列，且\(a_{1}=b_{1}=1\)，\(b_{2}+b_{3}=2a_{3}\)，\(a_{5}-3b_{2}=7\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(c_{n}=a_{n}b_{n}\)，\(n∈N^{*}\)，求数列\(\{c_{n}\}\)的前\(n\)项和．
              难度：较易
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            • 8．
              已知\(\{a_{n}\}\)是等差数列，满足\(a_{1}=3\)，\(a_{4}=12\)，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{1}=4\)，\(b_{4}=20\)，且\(\{b_{n}-a_{n}\}\)为等比数列．
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和．
              难度：中等
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            • 9．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=a(a\)为非零常数\()\)，其前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}= \dfrac {n(a_{n}-a_{1})}{2}(n∈N^{*})\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)若\(a=2\)，且\( \dfrac {1}{4}a_{m}^{2}-S_{n}=11\)，求\(m\)、\(n\)的值；
              \((3)\)是否存在实数\(a\)、\(b\)，使得对任意正整数\(p\)，数列\(\{a_{n}\}\)中满足\(a_{n}+b\leqslant p\)的最大项恰为第\(3p-2\)项？若存在，分别求出\(a\)与\(b\)的取值范围；若不存在，请说明理由．
              难度：难
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            • 10．
              某奖励基金发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成\(6\)份，奖励在某\(6\)个方面为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息存入基金总额，以便保证奖金数逐年增加\(.\)假设基金平均年利率为\(r=6.24\%\)，\(2000\)年该奖发放后基金总额约为\(21000\)万元\(.\)用\(a_{n}\)表示为第\(n(n∈N^{*})\)年该奖发放后的基金总额\((2000\)年为第一年\()\)．
              \((1)\)用\(a_{1}\)表示\(a_{2}\)与\(a_{3}\)，并根据所求结果归纳出\(a_{n}\)的表达式；
              \((2)\)试根据\(a_{n}\)的表达式判断\(2011\)年度该奖各项奖金是否超过\(150\)万元？并计算从\(2001\)年到\(2011\)年该奖金累计发放的总额．
              \((\)参考数据：\(1.0624^{10}=1.83\)，\(1.032^{9}=1.32\)，\(1.0312^{10}=1.36\)，\(1.032^{11}=1.40)\)
              难度：较易
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