知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}+a_{2}=10\)，\(a_{4}-a_{3}=2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((\)Ⅱ\()\)设等比数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{2}=a_{3}\)，\(b_{3}=a_{7}\)，问：\(b_{6}\)与数列\(\{a_{n}\}\)的第几项相等？

难度：较易

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2．
已知数列\(\{a_{n}\}\)是公比为\(2\)的等比数列，且\(a_{2}\)，\(a_{3}+1\)，\(a_{4}\)成等差数列．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)记\(b_{n}= \dfrac {1}{\log _{2}a_{n+1}\cdot \log _{2}a_{n+2}}\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(T_{n}\)．

难度：较易

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3．
已知正项数列\(\{ \dfrac {a_{n}}{3^{n}}\}\)是公差为\(2\)的等差数列，且\(a_{1}\)，\(9\)，\(a_{2}\)成等比数列．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：较易

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4．
已知公比不为\(1\)的等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(3\)项积为\(27\)，且\(2a_{2}\)为\(3a_{1}\)和\(a_{3}\)的等差中项．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
\((2)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}=b_{n-1}⋅\log _{3}a_{n+1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)，且\(b_{1}=1\)，求数列\(\{ \dfrac {b_{n}}{b_{n+2}}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．

难度：较易

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5．
已知\(n∈N*\)，且\(n\geqslant 4\)，数列\(T\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)中的每一项均在集合\(M=\{l,2,…,n\}\)中，
且任意两项不相等．
\((1)\)若\(n=7\)，且\(a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} < a_{6}\)，求数列\(T\)的个数；
\((2)\)若数列\(T\)中存在唯一的\(a_{k}(k∈N*\)，且\(k < n)\)，满足\(a_{k} > a_{k+1}\)，求所有符合条件的数列\(T\)的个数．

难度：较易

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6．
若数列\(\{a_{n}\}\)同时满足条件：\(①\)存在互异的\(p\)，\(q∈N*\)使得\(a_{p}=a_{q}=c(c\)为常数\()\)；
\(②\)当\(n\neq p\)且\(n\neq q\)时，对任意\(n∈N*\)都有\(a_{n} > c\)，则称数列\(\{a_{n}\}\)为双底数列．
\((1)\)判断以下数列\(\{a_{n}\}\)是否为双底数列\((\)只需写出结论不必证明\()\)：
\(①a_{n}=n+ \dfrac {6}{n}\)； \(②a_{n}=\sin \dfrac {nπ}{2}\)； \(③a_{n}=|(n-3)(n-5)|\)；
\((2)\)设\(a_{n}=\begin{cases}101-2n,1\leqslant n\leqslant 50 \\ {2}^{n-50}+m,n > 50\end{cases} \)，若数列\(\{a_{n}\}\)是双底数列，求实数\(m\)的值以及数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)；
\((3)\)设\(a_{n}=(kn+3)( \dfrac {9}{10})^{n}\)，是否存在整数\(k\)，使得数列\(\{a_{n}\}\)为双底数列？若存在，求出所有的\(k\)的值，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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7．
\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a\)，\(b\)，\(c\)依次成等差数列．
\((1)\)若向量\( \overrightarrow{m}=(3,\sin B)\)与\( \overrightarrow{n}=(2,\sin C)\)共线，求\(\cos A\)的值；
\((2)\)若\(ac=8\)，求\(\triangle ABC\)的面积\(S\)的最大值．

难度：较易

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8．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)和递增的等比数列\(\{b_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=3\)且，\(b_{3}=2a_{5}+3a_{2}\)，\(b_{2}=a_{4}+2\)
\((1)\)分别求数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)设\(S_{n}\)表示数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和，若对任意的\(n∈N^{*}\)，\(kb_{n}\geqslant S_{n}\)恒成立，求实数\(k\)的取值范围．

难度：较易

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9．
对于数列\(A\)：\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}\)，若满足\(a_{i}∈\{0,1\}(i=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)，\(n)\)，则称数列\(A\)为“\(0-1\)数列”\(.\)若存在一个正整数\(k(2\leqslant k\leqslant n-1)\)，若数列\(\{a_{n}\}\)中存在连续的\(k\)项和该数列中另一个连续的\(k\)项恰好按次序对应相等，则称数列\(\{a_{n}\}\)是“\(k\)阶可重复数列”，例如数列\(A\)：\(0\)，\(1\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(1\)，\(0.\)因为\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(a_{3}\)，\(a_{4}\)与\(a_{4}\)，\(a_{5}\)，\(a_{6}\)，\(a_{7}\)按次序对应相等，所以数列\(\{a_{n}\}\)是“\(4\)阶可重复数列”．
\((\)Ⅰ\()\)分别判断下列数列\(A\)：\(1\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(0\)，\(1\)，\(1\)，\(1.\)是否是“\(5\)阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这\(5\)项；
\((\)Ⅱ\()\)若项数为\(m\)的数列\(A\)一定是“\(3\)阶可重复数列”，则\(m\)的最小值是多少？说明理由；
\((III)\)假设数列\(A\)不是“\(5\)阶可重复数列”，若在其最后一项\(a_{m}\)后再添加一项\(0\)或\(1\)，均可使新数列是“\(5\)阶可重复数列”，且\(a_{4}=1\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的最后一项\(a_{m}\)的值．

难度：中等

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10．
已知等差数列\(\{a_{n}\}\)的首项为\(a\)，公差为\(b\)，等比数列\(\{b_{n}\}\)的首项为\(b\)，公比为\(a\)．
\((\)Ⅰ\()\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=-n^{2}+3n\)，求\(a\)，\(b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若\(a∈N^{+}\)，\(b∈N^{+}\)，且\(a < b < a_{2} < b_{2} < a_{3}\)．
\((i)\)求\(a\)的值；
\((ii)\)对于数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)，满足关系式\(a_{n}+k=b_{n}\)，\(k\)为常数，且\(k∈N^{+}\)，求\(b\)的最大值．

难度：较易

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