知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

难度：中等

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2．设函数y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的图象在x轴上截得的抛物线长为d_n，记数列{d_n}的前n项和为S_n，若存在正整数n，使得log₂（S_n+1） m-n2≥18成立，则实数m的最小值为．

难度：较难

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3．（2014•安徽模拟）如图，抛物线y=
x
上的点与x轴上的点构成等边三角形OP₁Q₁，O₁P₂Q₂，…Q_n-1P_nQ_n，…其中点P_n在抛物线上，点Q_n的坐为（x_n，0），猜测数列{x_n}的通项公式为．

难度：中等

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4．设数列{a_n}的前项n和为S_n，点(n，
Sn
n
)(n∈N+)均在函数y=2x-1的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2n-1•an，Tn是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点A（n，
Sn
n
）（n∈N）总在直线y=
1
2
x+
3
2
上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=
n+1 an
（n∈N），试问数列{b_n}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{a_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

难度：较难

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7．在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 {A_j}，j=1，2，…，以及在第一象限内的抛物线y2=
3
2
x上从左向右依次取点列{B_k}，k=1，2，…，使△A_k-1B_kA_k（k=1，2，…）都是等边三角形，其中A₀是坐标原点，则第2011个等边三角形的边长是．

难度：中等

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8．设s，t为正整数，两直线l1：
t
2s
x+y-t=0与l2：
t
2s
x-y=0的交点是（x₁，y₁），对于正整数n（n≥2），过点（0，t）和（x_n-1，0）的直线与直线l₂的交点记为（x_n，y_n）．
（1）求数列{x_n}通项公式；
（2）求数列{x_nx_n+1}的前n项和S_n．

难度：中等

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9．已知点列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N^）顺次为抛物线y=
1
4
x²上的点，过点B_n（n，b_n）作抛物线y=
1
4
x²的切线交x轴于点A_n（a_n，0），点C_n（c_n，0）在x轴上，且点A_n，B_n，C_n构成以点B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求数列{a_n}，{c_n}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n为直角三角形，若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{
1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为S_n，求证：
2
3
≤S_n＜
4
3
．

难度：较难

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10．已知{a_n}为等比数列，a₁=1，前n项和为S_n，且
S6
S3
=28，数列{b_n}的前n项和为T_n，且点（n，T_n）均在抛物线y=
1
2
x2+
1
2
x上．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S′_n．

难度：中等

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n+1	an