知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．数列{a_n}满足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+（n+1）n（n∈N⁺），
（1）令c_n=
an
n
，证明{c_n}是等差数列，并求a_n；
（2）令b_n=
1
an
an+1
，求数列{b_n}前n项和S_n．

难度：中等

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2．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=
bn
1+2bn

（1）求b₂、b₃、b₄并猜想数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
（3）设c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n} 的前n项和T_n．

难度：中等

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3．已知二次函数f（x）=x²，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）均在函数y=f（x）上的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{
1
anan+1
}前n项和为T_n，问满足Tn＞
100
209
的最小正整数n是多少？．

难度：中等

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4．（2015秋•江西校级期末）在公比为2的等比数列{a_n}中，a₂与a₃的等差中项是9
3
．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）若函数y=|a₁|sin（
π
4
x+φ），|φ|＜π，的一部分图象如图所示，M（-1，|a₁|），N（3，-|a₁|）为图象上的两点，设∠MPN=β，其中P与坐标原点O重合，0＜β＜π，求tan（φ-β）的值．

难度：中等

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5．已知数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n+1，n∈N^*，a₁=a＞0．
（1）求a₂，a₃，a₄的值并猜出{a_n}的通项公式；
（2）求证，分别以a₂，a₃，a₄为边的三角形不可能是直角三角形．

难度：中等

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6．已知函数f （x）=（x-1）²，数列{a_n}是公差为d的等差数列，数列{b_n}是公比为q的等比数列（q∈R，q≠1，q≠0）．若a₁=f（d-1），a₃=f （d+1），b₁=f （q-1），b₃=f （q+1），
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的前n项和为S_n，
①求证：对任意的n≥2，（n∈N^*）时
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜1
②设数列{c_n}对任意的自然数n均有
c1
b1
+
c2
b2
+
c3
b3
+…+
cn
bn
=Sn+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c_n的值．

难度：较难

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7．已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），记f（n）=
1+
C
1
n
a1+
C
2
n
a2+…+
C
n
n
an
2nSn
．
（1）求a_n；
（2）求证：f（1）+f（2）+…+f（2n-1）≥（2n-1）f（n），（n∈N^*）．

难度：较难

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8．已知向量
a
=(sin
ωx
2
，
1
2
)，
b
=(cos
ωx
2
，-
3
2
)，ω＞0，x≥0，函数f(x)=
a
•
b
的第n（n∈N^*）个零点记作x_n（从小到大依次计数），所有x_n组成数列{x_n}．
（Ⅰ）求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若ω=2，求数列{x_n}的前100项和S₁₀₀．

难度：中等

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