知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知A、B、C三点坐标分别为（-1，0），（3，-1），（1，2），
AE
=
1
3
AC
，
BF
=
1
3
BC

（1）求点E、F及向量
EF
的坐标；
（2）求证：
EF
∥
AB
．

难度：中等

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2．已知
a
，
b
，
c
在同一平面内，且
a
=(-1，2)．
（1）若
c
=(m-1，3m)，且
c
∥
a
，求m的值；
（2）若|
a
-
b
|=3，且(
a
+2
b
)⊥(2
a
-
b
)，求向量
a
-
b
与
b
的夹角．

难度：中等

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3．已知向量
a
=（4，2），
b
=（-1，2），
c
=（2，m）．
（1）若
a
•
c
＜m²，求实数m的取值范围；
（2）若向量
a
+
c
与
b
平行，求m的值．

难度：中等

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4．已知
a
，
b
为平面向量，
a
=(2，-1)，2
a
+
b
=（1，2），
（1）求
b
；
（2）求向量
b
在
a
方向上的投影．

难度：较易

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5．设向量
a
=（2，1），
b
=（-1，3）．
（Ⅰ）若（3
a
+2
b
）∥（-
a
+λ
b
），求实数λ的值；
（Ⅱ）若（2
a
-
b
）⊥（k
a
+
b
），求实数k的值．

难度：中等

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6．已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）．
（1）求
AD
+
BD
-
BC
；
（2）若
AC
+λ
AB
与
CD
垂直，求λ的值．

难度：中等

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7．已知
a
=（2，1），
b
=（-3，-4），
（1）求2
a
+3
b
，|
a
-2
b
|；
（2）求
a
与
b
的夹角的余弦值．

难度：较易

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8．设平面内的向量
OA
=(-1，-3)，
OB
=(5，3)，
OM
=(2，2)，点P在直线OM上，且
PA
•
PB
=-16．
（1）求
OP
的坐标；
（2）求∠APB的余弦值；
（3）设t∈R，求|
OA
+t
OP
|的最小值．

难度：较难

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9．已知向量
a
=（1，y），
b
=（1，-3），且满足（2
a
+
b
）⊥
b
．
（1）求向量
a
的坐标；
（2）求向量
a
与
b
的夹角．

难度：中等

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10．如图，有两条相交成
π
3
角的直线EF，MN，交点是O．一开始，甲在OE上距O点2km的A处；乙在OM距O点1km的B处．现在他们同时以2km/h的速度行走．甲沿EF的方向，乙沿NM的方向．设与OE同向的单位向量为
e1
，与OM同向的单位向量为
e2
．
（1）求
e1
，
e2
；
（2）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用
e1
，
e2
表示
CD
；
（3）若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用
e1
，
e2
表示
GH
；
（4）什么时间两人间距最短？

难度：较难

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