知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=60°，O为三角形的外心，以线段OB，OC为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OA，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．
（1）设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ ，试用 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bc%7D$ 表示 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOH%7D$ ；
（2）用向量法证明：AH⊥BC；
（3）若△ABC的外接圆半径为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求OH的长度．

难度：较易

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2．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设 $%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D%3Dx%20%5Coverrightarrow%20%7BBA%7D%2By%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ （x，y∈R）．
（1）若x=y=1，求| $%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D$ |；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ =36， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBD%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BBA%7D$ =54，求x，y．

难度：较易

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3．已知 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ 是平面内两个不共线的非零向量， $%20%5Coverrightarrow%20%7BAB%7D%3D2%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBE%7D%3D-%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D%2B%CE%BB%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BEC%7D%3D-2%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ ，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ =（2，1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ =（2，-2），求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ 的坐标．

难度：较易

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4．设非零向量向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，已知| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ |=2| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |，（ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ）⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ．
（1）求 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 的夹角；
（2）在如图所示的直角坐标系xOy中，设B（1，0），已知
M（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B5%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B6%7D$ ）， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ =λ₁ $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +λ₂ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ （λ₁，λ₂∈R），求λ₁+λ₂的值．

难度：中等

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5．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ =m $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ + $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ （m为常数）．
（Ⅰ）如图，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；
（Ⅱ）若m=2，求| $%20%5Coverrightarrow%20%7BOP%7D$ |的取值范围．

难度：易

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6．（Ⅰ）已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（3，1）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（-1， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ），若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ +λ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 垂直，求实数λ；
（Ⅱ）已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，用向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 分别表示向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOC%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOD%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BDC%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BBC%7D$ ．

难度：较易

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7．在△OAB的边OA，OB上分别有一点P，Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连接AQ，BP，设它们交于点R，若 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ = $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ．
（1）用 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 表示 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOR%7D$ ；
（2）若| $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ |=1，| $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ |=2， $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ 与 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 夹角为60°，过R作RH⊥AB交AB于点H，用 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ 表示 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOH%7D$ ．

难度：较易

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8．
$\triangle ABC$中，$a=4$，$b=5$，$C= \dfrac {2π}{3}$，角$A$、$B$、$C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$，点$D$在边$AB$上，且$ \dfrac {AD}{DB}= \dfrac {2}{3}$．
$(1)$用$ \overrightarrow{CA}$和$ \overrightarrow{CB}$表示$ \overrightarrow{CD}$；
$(2)$求$|CD|$．

难度：较易

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9．已知向量
a
=(sinα，-2)与
b
=(1，cosα)，其中α∈(0，
π
2
)．
（1）问向量
a
，
b
能平行吗？请说明理由；
（2）若
a
⊥
b
，求sinα和cosα的值；
（3）在（2）的条件下，若cosβ=
10
10
，β∈(0，
π
2
)，求α+β的值．

难度：中等

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10．如图所示，A，B是单位圆O上的点，C是单位圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为(
1
2
，
3
2
)，△AOB为等边三角形，求点B的坐标及|
BC
|的值．

难度：中等

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