知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知|
a
|=1，|
b
|=2，且
a
与
b
的夹角为120°．求：
（1）
a
•
b
；
（2）（
a
-3
b
）•（2
a
+
b
）；
（3）|2
a
-
b
|．

难度：中等

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2．已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上， $\text{[math]}$ =（﹣2，m）， $\text{[math]}$ =（n，1）， $\text{[math]}$ =（5，﹣1），且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，求实数m，n的值．

难度：中等

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3．已知| $\text{[math]}$ |=4，| $\text{[math]}$ |=3，（2 $\text{[math]}$ ﹣3 $\text{[math]}$ ）•（2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=61．
① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角；
②求| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |和| $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ |．

难度：中等

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4．已知
a
，
b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，-2）．
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求向量
c
的坐标；
（2）若|
b
|=1，且
a
+
b
与
a
-2
b
垂直，求
a
与
b
的夹角θ的余弦值．

难度：中等

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5．已知向量
a
与
b
的夹角为60°，|
a
|=3，|
b
|=2，
c
=3
a
+5
b
，
d
=m
a
-
b
．
（1）求
a
•
b
的值；
（2）若
c
⊥
d
，求实数m的值．

难度：中等

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6．已知
a
=（3，-4），
b
=（2，x），
c
=（2，y），且
a
∥
b
，
a
⊥
c
，求：
（1）
b
•
c
；
（2）
b
、
c
的夹角；
（3）|
b
+
c
|

难度：中等

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7．已知.|
a
|=
2
，|
b
|=1
（1）若
a，
b
的夹角θ为45°，求|
a
-
b
|
（2）若(
a
-
b)
⊥
b
，求
a
与
b
的夹角θ．

难度：中等

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8．已知向量
a
≠
b
，|
b
|=1．
（1）若|
a
|=2，|
a
+
b
|=2|
a
-
b
|，求向量
a
与
b
的夹角的余弦；
（2）对任意实数t，恒有|
a
-t
b
|≥|
a
-
b
|，求证：（
a
-
b
）⊥
b
．

难度：中等

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9．设平面三点A（1，0），B（0，1），C（2，5）．
（1）求
AB
•
AC
的值；
（2）求向量
AB
与
AC
的夹角的余弦值；
（3）试求与
BC
垂直的单位向量的坐标．

难度：较难

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10．设平面内的向量
OA
=(1，7)，
OB
=(5，1)，
OM
=(2，1)，点P是直线OM上的一个动点，求当
PA
•
PB
取最小值时，
OP
的坐标及∠APB的余弦值．

难度：中等

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