知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
a
=（sinx，-1），
b
=（-
3
cosx，-
3
2
），函数f（x）=（
a
-
b
）•
a
．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及对称轴方程；
（2）若f（
α
2
）=
3
3
，α∈[0，
π
2
]，求sinα的值．

难度：中等

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2．如图，已知
OP
=（2，1），
OA
=（1，7），
OB
=（5，1），设Z是直线OP上的一动点．
（1）求使
ZA
•
ZB
取最小值时的
OZ
；
（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

难度：较难

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3．给出下列命题：
①若
a
2+
b
2=0，则
a
=
b
=
0
；
②若A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
1
2
AB
=(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)；
③已知
a
，
b
，
c
是三个非零向量，若
a
+
b
=
0
；，则|
a
•
c
|=|
b
•
c
|；
④已知λ₁＞0，λ₂＞0，
e1
，
e2
是一组基底，
a
=λ₁
e1
+λ₂
e2
，则
a
与
e1
不共线，
a
与
e2
也不共线；
⑤
a
与
b
共线⇔
a
•
b
=|
a
||
b
|．
其中正确命题的序号是．

难度：中等

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4．已知向量
a
=（cos（-θ），sin（π+θ）），
b
=（cos（
π
2
-θ），sin（
π
2
-θ））．
（Ⅰ）求证
a
⊥
b
；
（Ⅱ）若存在不等于0的实数k和t，使
x
=
a
+（t²+3）
b
，
y
=-k
a
+t
b
满足
x
⊥
y
，试求此时
k+t2
t
的最小值．

难度：中等

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5．已知向量
OA
=（2，2），
OB
=（-4，1），点P在x轴的非负半轴上（O为原点）．
（1）当
PA
•
PB
取得最小值时，求
OP
的坐标；
（2）设∠APB=θ，当点P满足（1）时，求cosθ的值．

难度：中等

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6． AB为单位圆上的弦，P为单位圆上的动点，设f（λ）=|
BP
-λ
BA
|的最小值为M，若M的最大值M_max=
3
2
，则|
AB
|的值等于．

难度：较难

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7．给出下列4个命题：
①保持函数y=sin(2x+
π
3
)图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为y=sin(x+
π
6
)．
②在区间[0，
π
2
)上，x₀是y=tanx的图象与y=cosx的图象的交点的横坐标，则
π
6
＜x0＜
π
4
．
③在平面直角坐标系中，取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量
i
，
j
作为基底，则四个向量
i
+2
j
，
2
i
+
3
j
，
3
i
-
2
j
，2
i
-
j
的坐标表示的点共圆．
④方程cos³x-sin³x=1的解集为{x|x=2kπ-
π
2
，k∈Z}．
其中正确的命题的序号为．

难度：较难

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8．已知向量
e
=(1，0)，O是坐标原点，动点P满足：|
OP
|-
OP
•
e
=2
（1）求动点P的轨迹；
（2）设B、C是点P的轨迹上不同两点，满足
OB
=λ
OC
(λ≠0，λ∈R)，在x轴上是否存在点A（m，0），使得
AB
⊥
AC
，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：较难

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