知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（Ⅰ）已知
m
，
n
是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量
p
=2
m
+
n
，
q
=-3
m
+2
n
．求向量
p
与
q
的夹角；
（Ⅱ）已知
u
，
v
是两个不共线的向量，
a
=
u
+
v
，
b
=3
u
-2
v
，
c
=2
u
+3
v
．求证：
a
，
b
，
.
c
共面．

难度：中等

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2．已知向量
a
=(sin
x
2
，
1
2
)，
b
=(
3
cos
x
2
-sin
x
2
，1)，函数f(x)=
a
•
b
，△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f(B+C)=1，a=
3
，b=1，求△ABC的面积S．

难度：中等

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3．已知
a
，
b
，
c
是同一平面内的三个向量，其中
a
=（1，2）．
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求向量
c
；
（2）若|
b
|=
3
5
2
，且
a
+2
b
与2
a
-
b
垂直，求向量
a
与向量
b
的夹角的余弦值．

难度：中等

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4．设向量
a
=(λ+2，λ2-
3
cos2α)，向量
a
=(m，
m
2
+sinαcosα)，其中λ，m，α为实数．若向量
a
=2
b
，则
λ
m
的取值范围为．

难度：较难

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5．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0），
（1）若
MP
⊥
NP
，求t的值
（2）求证：R，A，C三点共线．

难度：中等

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6．已知
a
=（2，1），
b
=（sinα，cosα），且
a
∥
b
，求：
（1）sin²α+2sinαcosα
（2）sin²α+sin2α

难度：较易

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7．已知函数f（x）=3^x+k （k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量
a
=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

难度：中等

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8．给出以下命题：
①函数f（x）=|log2x2|既无最大值也无最小值；
②函数f（x）=|x²-2x-3|的图象关于直线x=1对称；
③向量
AB
与向量
CD
共线，则A，B，C，D四点共线；
④若函数f（x）满足|f（-x）|=|f（x）|，则函数f（x）或是奇函数或是偶函数；
⑤设定义在R上的函数f（x）满足对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，则函数F（x）=f（x）-x在R上递增．
其中正确的命题是（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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9．若对于n个向量
a1
，
a2
，…，
an
，若存在n个不全为零的实数k₁，k₂，…，k_n，使得k1
a1
+k2
a2
+…+kn
an
=
0
，则称
a1
，
a2
，…，
an
为“线性相关”，k₁，k₂，…，k_n分别为
a1
，
a2
，…，
an
的“相关系数”．依此规定，若
a1
=(1，0)，
a2
=(1，-1)，
a3
=(2，2)线性相关，
a1
，
a2
，
a3
的相关系数分别为k₁，k₂，k₃，则k₁：k₂：k₃= ．

难度：较难

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