知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量
a
=（1，2），
b
=（1，-3），则|
a
+2
b
|= ．

难度：中等

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2．已知向量
AB
=（2，1），
BC
=（-1，k），
CD
=（3，4）．
（Ⅰ）若
AD
=（4，6），求k的值；
（Ⅱ）若A，C，D三点共线，求k的值．

难度：较易

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3．
a1
，
a2
，…，
an
，…是按先后顺序排列的一列向量，若
a1
=(-2015，13)，且
an
-
an-1
=(1，1)，则其中模最小的一个向量的序号为．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，点A(cosθ，
2
sinθ)，B(sinθ，0)，其中θ∈R．
（1）当θ∈[0，
π
2
]时，求|
AB
|的最大值．
（2）当θ∈[0，
π
2
]，|
AB
|=
5
2
时，求sin(2θ+
5π
12
)的值．

难度：中等

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5．已知平面向量
a
=(4x，2x)，
b
=(1，
2x-2
2x
)，x∈R，若
a
⊥
b
，则|
a
-
b
|= ．

难度：中等

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6．已知向量
a
=(4，-2)，
b
=(x，1)．
（Ⅰ）若
a
，
b
共线，求x的值；
（Ⅱ）若
a
⊥
b
，求x的值；
（Ⅲ）当x=2时，求
a
与2
b
+
a
夹角θ的余弦值．

难度：中等

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7．已知
a
=(1，0)，
b
=(2，1)．
（Ⅰ）求|
a
+3
b
|；
（Ⅱ）当k为何值时，k
a
-
b
与
a
+3
b
平行，并说明平行时它们是同向还是反向？

难度：中等

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8．已知O、A、B、C是平面内四点，
OC
=sin2α
OA
+cos2α
OB
，α是锐角．
（1）证明：C在线段AB上；
（2）若α=45°，|
OA
|=|
OB
|=1，且|
OA
-
OB
|=
2
，求|
OC
|．

难度：中等

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9．在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量
m
=（cosA，sinA），
n
=（cosA，-sinA），且
m
与
n
的夹角为
2π
3
．
（1）求角A的值；
（2）若a=
3
，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

难度：中等

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10．已知边长为1的等边三角形△ABC，向量
a
、
b
满足
AB
=2
a
，
AC
=2
a
+
b
，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）
①
a
为单位向量；②
b
为单位向量；③＜
a
，
b
＞=
π
3
；④（4
a
+
b
）⊥
BC
．

难度：中等

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