知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
复数\((m^{2}-5m+6)+(m^{2}-3m)i\)，\(m∈R\)，\(i\)为虚数单位．
\((I)\)实数\(m\)为何值时该复数是实数；
\((\)Ⅱ\()\)实数\(m\)为何值时该复数是纯虚数．

难度：较难

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2．
已知复数\(z= \dfrac {(1+i)^{2}+2(5-i)}{3+i}\)．
\((1)\)求\(|z|\)；
\((2)\)若\(z(z+a)=b+i\)，求实数\(a\)，\(b\)的值．

难度：难

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3．
已知复数\(z_{1}=1-i\)，\(z_{2}=4+6i\)．
\((1)\)求\( \dfrac {z_{2}}{z_{1}}\)；
\((2)\)若复数\(z=1+bi(b∈R)\)满足\(z+z_{1}\)为实数，求\(|z|\)．

难度：中等

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4．
已知复数\(z\)满足\(|z|= \sqrt {2}\)，\(z^{2}\)的虚部为\(2\)．
\((1)\)求复数\(z\)；
\((2)\)设\(z\)、\(z^{2}\)、\(z-z^{2}\)在复平面上的对应点分别为\(A\)、\(B\)、\(C\)，求\(\triangle ABC\)的面积．

难度：中等

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5．
已知复数\(z=3+bi(b∈R)\)，且\((1+3i)⋅z\)为纯虚数．
\((1)\)求复数\(z\)及\( \overset{ .}{z}\)；
\((2)\)若\(ω= \dfrac {z}{2+i}\)，求复数\(ω\)的模\(|ω|\)．

难度：较难

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6．已知复平面内的\(A{,}B\)对应的复数分别是\(z_{1}{=}\sin^{2}\theta{+}i{,}z_{2}{=-}\cos^{2}\theta{+}i\cos 2\theta\)，其中\(\theta{∈}(0{,}\pi)\)，设\(\overrightarrow{{AB}}\)对应的复数是\(z\)．
\((1)\)求复数\(z\)；
\((2)\)若复数\(z\)对应的点\(P\)在直线\(y{=}\dfrac{1}{2}x\)上，求\(\theta\)的值．

难度：较难

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7．
设\(z\)是虚数，\(ω=z+\dfrac{1}{z}\)是实数，且\(-1 < ω < 2\)

\((1)\)求\(|z|\)的值及\(z\)的实部的取值范围；

\((2)\)设\(u=\dfrac{1-z}{1+z} \)，求证：\(u\)为纯虚数；

\((3)\)求\(ω-u^{2}\)的最小值

难度：较难

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8．
已知复数\(z_{n}=a_{n}+b_{n}⋅i\)，其中\(a_{n}∈R\)，\(b_{n}∈R\)，\(n∈N^{*}\)，\(i\)是虚数单位，且\(z_{n+1}=2z_{n}+ \overset{ .}{z_{n}}+2i\)，\(z_{1}=1+i\)．
\((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)，\(\{b_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)求和：\(①z_{1}+z_{2}+…+z_{n}\)；\(②a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}\)．

难度：较易

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9．已知复数\(z= \dfrac {(1-i)^{2}+3(1+i)}{2-i}\)．
\((1)\)求\(z\)的共轭复数\( \overline {z}\)；
\((2)\)若\(az+b=1-i\)，求实数\(a\)，\(b\)的值．

难度：较易

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10．计算：
\((1)( \dfrac {3-i}{1+i})^{2}\)
\((2)\)已知复数\(z=1+i\)，求\( \dfrac {2}{z}-z\)．

难度：较易

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