知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设存在复数z同时满足下列条件：
（1）复数z在复平面内对应的点位于第二象限；
（2）z•
z
+2iz=8+ai（a∈R），求a的取值范围．

难度：中等

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2．设复数z_n=x_n+i•y_n，其中x_ny_n∈R，n∈N^*，i为虚数单位，z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，复数z_n在复平面上对应的点为Z_n．
（1）求复数z₂，z₃，z₄的值；
（2）证明：当n=4k+1（k∈N^*）时，
OZn
∥
OZ1
；
（3）求数列{x_n•y_n}的前100项之和．

难度：较难

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3．已知复数z₁=m-2i，复数z₂=1-ni，其中i是虚数单位，m，n为实数．
（1）若m=1，n=-1，求|z₁+z₂|的值；
（2）若z₁=（z₂）²，求m，n的值．

难度：较易

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4．计算下列各题：
（1）(1-i)(-
1
2
+
3
2
i)(1+i)
（2）i÷（4+3i）

难度：较易

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5．已知z₁= $\text{[math]}$ ﹣（10﹣a²）i，z₂= $\text{[math]}$ +（2a﹣5）i，a∈R，i为虚数单位．若z₁+z₂是实数．（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ •z₂的值．

难度：中等

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6．（Ⅰ）若复数z=（m-1）+（m+1）i（m∈R），
①若z在复平面内对应的点z在第二象限内，求m的取值范围．
②若z为纯虚数时，求
1-z
1+z
．
（Ⅱ）已知复数Z=
(1-4i)(1+i)+2+4i
3+4i
，Z²+aZ+b=1+i，求实数a，b的值．

难度：中等

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7．（1）若（x²-1）+（x²+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），求实数x的值；
（2）已知z的共轭复数为
.
z
，且(z+
.
z
)2-3z
.
z
•i=4-12i（i为虚数单位），求复数z．

难度：中等

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8．已知复数z=1-i．
（1）设w=z²+3
.
z
-4，求w的三角形式；
（2）如果z²-az+b=2+4i，求实数a，b的值．

难度：中等

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9．已知复数z₁=a²-2i，z₂=4+ai．
（Ⅰ）若z₁-z₂为纯虚数，求实数a的值；
（Ⅱ）若复数z=（z₁-a²）z₂，且|z|=10，求实数a的值．

难度：较易

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10．计算求值：
（1）计算
∫
π
2
0
（sin
x
2
+cos
x
2
）²dx；
（2）已知复数z满足z•
.
z
-i（
.
3z
）=1-（
.
3i
），求z．

难度：较易

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